Algebra liniowa płaszczyzny (ALPl)

Zadania kwalifikacyjne są tutaj.

Opis

Wektorki, za Wikimedia CommonsRozwiązania zadań kwalifikacyjnych proszę wysyłać na adres m.tarnowski95@gmail.com.

Algebra liniowa to jeden z najczęściej nauczanych przedmiotów matematycznych na studiach, nie tylko matematycznych. Mniej-więcej od lat 60. XX w. jest równie powszechny co analiza matematyczna. Niestety ograniczenia czasowe sprawiają, że tego przedmiotu zwykle nie można wykładać spiralnie, tzn. zaczynając od szczególnych przypadków (jak płaszczyzna i przestrzeń trójwymiarowa). Kursy zwykle zaczynają się od pełnej ogólności – czasami tylko Rn (AGH), a czasem już od abstrakcyjnej przestrzeni liniowej (UW, UJ). Poza tym ten przedmiot jest nauczany w obecnej formie dopiero od lat 60. XX w. – kiedy zastąpił geometrię analityczną – przez co dydaktyka jeszcze nie dojrzała i nie dotarła się w pełni, jak to było w przypadku analizy (nauczanej od XVIII–XIX w., w dojrzałej formie od połowy XX w.).

Te dwa powody – pełna ogólność i pewien brak dotarcia – sprawiają, że to często przedmiot niezrozumiały i niepopularny, nawet dla najzdolniejszych uczniów i studentów. Niektórzy zdolni nie czują tego dyskomfortu, ale chyba rzadko potrafią przekazać to uczucie innym. Szczytnych wyjątków jest mało:

Celem tych warsztatów nie jest zastąpienie systematycznego, pełnego kursu algebry liniowej i geometrii analitycznej. Celem jest ich uzupełnienie:

Taki błyskawiczny, 9-godzinny kurs zawężony do R2 ma być „spisem treści” kursu właściwego. Niektórzy lubią czytać spisy treści przed właściwą treścią i uczyć się „iteracyjnie”, zaczynając od mniejszych wyzwań, zarysów i „rusztowań” całej teorii. Kiedyś modne było słowo „propedeutyka”. Jak ktoś chce, to może to nazwać „propedeutyką algebry liniowej” (PAL-em).

Wyznacznik dwuwymiarowy, za Wikimedia CommonsWstępny plan warsztatów

Dzień 1

  1. wektory na płaszczyźnie i działania na nich; współliniowość wektorów;
  2. kombinacja liniowa, otoczka (powłoka) liniowa i rozpinanie; liniowa niezależność; baza;
  3. macierze przedstawiające układy wektorów lub równań liniowych; podstawowe typy macierzy: zerowa, jednostkowa, skalarna, diagonalna, schodkowa, trójkątna – i ich interpretacja geometryczna;
  4. rząd macierzy, układu wektorów i układu równań liniowych;
  5. obliczanie rzędu macierzy przez schodkowanie („eliminacja Gaussa”, redukcja wierszowa lub kolumnowa).

Dzień 2

  1. wyznacznik w pięciu smakach;
  2. forma liniowa; mnożenie wiersza przez kolumnę, działania na formach, przestrzeń dualna (wierszy);
  3. odwzorowania liniowe i ich macierze, działania na odwzorowaniach liniowych i ich macierzach;
  4. podstawowe typy odwzorowań i ich macierzy: odwracalne (bijektywne, nieosobliwe) i nieodwracalne (osobliwe).

Dzień 3

  1. zmiana bazy i jej magiczne własności;
  2. teoria spektralna: wektory i wartości własne, wielomian charakterystyczny, diagonalizacja;
  3. jeśli starczy czasu: postać kanoniczna Jordana. Twierdzenie Jordana na płaszczyźnie jest zadziwiająco proste (dla tych, którzy nie mogli go zrozumieć) i zadziwiająco skomplikowane (dla tych, dla których niskie wymiary są „trywialne”).

Czego prawdopodobnie NIE będzie i dlaczego:

1. Liczb zespolonych. Mają duże znaczenie i naturalnie uzupełniają płaszczyznę, ALE:

2. Równania wektorowego prostej i podstawowych problemów z geometrii analitycznej (jak wzajemne położenie prostych, punktów lub prostej i punktu). To pewne „naturalne uzupełnienie” algebry i geometrii wektorów, ALE:

3. Krzywych drugiego stopnia (stożkowych)

4. Innych bajerów, które dałoby się wcisnąć w płaszczyznę euklidesową, jak: procedura Grama–Schmidta (ortonormalizacja), wielomian minimalny, twierdzenie Cayleya–Hamiltona, funkcje analityczne od odwzorowań i macierzy, ogólne formy dwuliniowe, twierdzenie Sylvestera, iloczyn tensorowy wektorów, iloczyn zewnętrzny (Grassmana) – chętni mogą pogadać w kuluarach.

Wymagania

Przydatne rzeczy