Rozszerzenia ciał i konstrukcje geometryczne

Opis

Klasyczna geometria konstrukcyjna zajmuje się problemem wyznaczania punktów, odcinków lub kątów spełniających z góry zadane warunki za pomocą jedynie cyrkla i linijki bez podziałki. My zajmiemy się czymś zupełnie odwrotnym - będziemy udowadniać, że pewnych konstrukcji wykonać się nie da. Wygląda to na trudne zadanie i rzeczywiście - wystarczy wspomnieć, że niemożliwość rozwiązania trzech słynnych problemów konstrukcyjnych starożytności została udowodniona dopiero w XIX wieku.

Przede wszystkim będziemy musieli znaleźć metodę opisywania w sposób zupełnie ścisły, a jednocześnie dość wygodny takich konstrukcji. Tutaj z pomocą przychodzi nam algebra - dziedzina matematyki, w której, najogólniej mówiąc, bierzemy jakieś zbiory, określamy na nich działania, które spełniają wygodne dla nas własności i badamy strukturę, którą dostaliśmy. Interesować nas będzie głównie struktura nazywana ciałem, z którą wstępnie zapoznacie się przy zadaniach kwalifikacyjnych. Na warsztatach przyjrzymy się metodom tzw. rozszerzania ciał - jak, mając jedno ciało, zrobić drugie, które będzie spełniało interesujące nas własności.

Następnie zastosujemy całą tę maszynerię do geometrii - wprowadzimy pojęcie liczb konstruowalnych, pokażemy, że tworzą one ciało i zbadamy jego relacje z ciałem liczb wymiernych. To pozwoli nam na udowodnienie następujących wyników:

• Twierdzenie Gaussa: jeżeli p jest liczbą pierwszą, to p-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2ⁿ + 1, dla pewnego naturalnego n.
• Nie da się rozwiązać konstrukcyjnie słynnych problemów starożytnych: podwojenia sześcianu i trysekcji kąta.
• Jeżeli chodzi o trzeci problem - kwadraturę koła, to przedstawię tylko szkic - pełen dowód wymaga dość zaawansowanej analizy.

Jeżeli starczy czasu, to będziemy po prostu bawić się dalej algebrą - być może pokażę bardzo fajny dowód zasadniczego twierdzenia algebry :)

Wymagania

• podstawowe pojęcia z teorii zbiorów i funkcji takie, jak iloczyn kartezjański, dziedzina, obraz, iniekcja, suriekcja, bijekcja
• znajomość podstawowych pojęć algebraicznych taki, jak grupa, ciało, przestrzeń liniowa (spokojnie, temu właśnie mają służyć zadania kwalifikacyjne)

Kontakt

W razie jakichkolwiek wątpliwości, pytań, chęci otrzymania dodatkowych materiałów, rozterek życiowych etc. proszę śmiało pisać na mieszko1037@gmail.com.