Teoria grup z zastosowaniami w teorii liczb i komb

Prowadzący

Olek Horawa

Opis

Zajęcia dotyczyły będą teorii grup i jej zastosowań. Grupa to zbiór z pewnym działaniem (o którym możemy myśleć jak o mnożeniu) spełniający pewne warunki. Aksjomaty grupy są na tyle mocne, aby stworzyć bogatą teorię, a zarazem na tyle proste, że przykłady grup możemy znaleźć w wielu dziedzinach matematyki. W związku z tym twierdzenia z teorii grup mogą służyć jako narzędzia do dowodzenia faktów z teorii liczb i kombinatoryki. Warsztaty stanowić będą wstęp do teorii grup z naciskiem na jej zastosowania w wielu zadaniach dotyczących podzielności i zliczania.

Każdy z 3-godzinnych bloków podzielony będzie na dwie części (trwające 90 minut): wykład + ćwiczenia, więc każdy będzie miał okazję zobaczyć, jak przydatna jest to teoria, samemu rozwiązując zadania.

Ramowy plan zajęć

Dzień 1. Wprowadzenie podstawowych pojęć i twierdzeń.

Pierwszego dnia zajmiemy się podstawami teorii grup. Zdefiniujemy grupy, podgrupy, warstwy, generatory i homomorfizmy, a także udowodnimy kilka twierdzeń, m.in. twierdzenie Lagrange'a i Cayley'a.

Dzień 2. Zastosowania w teorii liczb.

Dowodząc faktów o własnościach niektórych grup, można otrzymać ciekawe twierdzenia dotyczące podzielności. Udowodnimy m.in. Twierdzenie Eulera, Chińskie Twierdzenie o Resztach oraz wiele innych, a także pokażemy ich zastosowania.

Dzień 3. Zastosowania w kombinatoryce.

Teoria grup okazuje się szczególnie przydatnym narzędziem do zliczania. Przy jej pomocy możemy na przykład w łatwy sposób policzyć, na ile różnych sposobów można pokolorować ściany sześcianu \(n\) kolorami (dwa pokolorowania uważamy za różne, jeśli jednego nie można otrzymać z drugiego przy pomocy rotacji sześcianu). W szczególności, udowodnimy Lemat Burnside'a i Twierdzenie Pólya'i.

Kwalifikacja

Zadania kwalifikacyjne można znaleźć tutaj.