Topologia kombinatoryczna

UWAGA! Pojawiły się szczegółowe informacje dotyczące wymagań do uczestnictwa w warsztatach.

Prowadzący

Piotr Suwara

Opis

Czym różni się pączek od precla? Każde dziecko jest w stanie opisać co najmniej jedną różnicę: precel ma "dziurę", pączek - nie. Weźmy jeszcze prostszy przykład - czym się różni "ósemka" od okręgu? Ano, "ósemka" ma dwie "pętelki", okrąg - jedną. W języku matematyki nie jest jednak łatwo powiedzieć, co to znaczy, że precel ma "dziurę".

Topologia jest dziedziną matematyki zwaną często gumową geometrią. Zajmuje się ona m.in. badaniem "kształtów" różnych obiektów, zapominając jednak o ich dokładnej, "sztywnej" strukturze. Przykładowo, z punktu widzenia topologii pączek (kula), książka (prostopadłościan), czy szklanka (walec z denkiem, o pewnej grubości) są właściwie takie same - jeśli mamy wystarczająco elastyczną kulę, możemy ją, rozciągając lub ściskając, ale nigdy nie rozrywając ani nie sklejając kawałków brzegu, uformować tak, aby miała kształt książki albo szklanki.

Topologia kombinatoryczna (po II Wojnie zwana zwykle topologią algebraiczną) jest częścią topologii zajmującą się badaniem niezmienników różnych obiektów ze względu na ich "ściskanie" i "rozciąganie" (pewnych własności, które nie zmieniają się przy tych "operacjach"), między innymi identyfikowaniem "dziur" w preclach czy "pętelek" w grafach. Niezmienniki są kluczem w teoriach zajmujących się klasyfikacjami obiektów - pojawia się m. in. pytanie o istnienie takiego zbioru niezmienników (najlepiej łatwych do obliczenia), za pomocą których moglibyśmy łatwo zdecydować, czy dane dwa obiekty są równoważne.

Program zajęć

Podczas warsztatów poznamy podstawowe pojęcia topologii, m.in. definicje przekształcenia ciągłego, homeomorfizmu (przekształcenia, które pokazuje równoważność topologiczną dwóch obiektów) czy homotopii (deformowania kształtów w czasie). Postaramy się zbudować podstawowe intuicje dotyczące tych pojęć, opierając się głównie na przykładach prostych jedno- i dwuwymiarowych obiektów takich, jak grafy, krzywe, powierzchnie.

Skupimy się na znajdowaniu topologicznych niezmienników. Przede wszystkim przyjrzymy się grafom planarnym i ich kombinatoryce, opisywanej przez tw. Eulera dla grafów. Rozważania grafowe przeniesiemy na powierzchnie, aby otrzymać tw. Eulera dla wielościanów, po czym znajdziemy analogiczne rezultaty dla grafów na preclach (torusach), wielopreclach (kilku zlepionych torusach) i tajemniczej płaszczyźnie rzutowej. Zastanowimy się, jak zachowują się pętelki nie tylko na "ósemce", ale na rozważanych przez nas powierzchniach.

W końcu zabawimy się w chirurgów i zaczniemy sklejać różne obiekty z wielościanów, m. in. wspominane powierzchnie. Prosta kombinatoryka posłuży nam do policzenia ważnych niezmienników topologicznych, jakimi są homologie tak otrzymanych przestrzeni. Zinterpretujemy w ich terminach liczbę "dziur" czy wspomnianą charakterystykę Eulera. Poza tym okaże się, że za pomocą otrzymanej teorii jesteśmy w stanie niewielkim wkładem pracy liczyć niezmienniki wyżej wymiarowych obiektów.

Wymagania

Wymagana jest przede wszystkim gibka wyobraźnia i kreatywność. Będziemy korzystać głównie z prostej kombinatoryki oraz intuicji jasnych dla właściwie każdego (takich, które da się narysować albo zamodelować za pomocą kartki papieru, sznurka, czy kombinacji obydwu) - opanowanie intuicji, które są prawdziwe w ramach formalnych teorii jest celem, a nie wymaganiem tych warsztatów. Należy umieć liczyć (do kilkunastu), rysować, opisywać obiekty matematyczne i przekształcenia między nimi wzorami, rozwiązywać proste równania liniowe.

Oprócz tego chciałbym, w ramach zadań kwalifikacyjnych oraz skryptu, który przygotuję, zapoznać Was z prostymi pojęciami i ideami, które będą przydatne podczas warsztatów.

Wymagania - szczegóły

Ponieważ poruszane tematy są raczej trudne i wymagają zdobycia nowych intuicji, osoby niezakwalifikowane na te warsztaty, a chcące aktywnie w nich uczestniczyć powinny do czasu rozpoczęcia zajęć zdobyć co najmniej 9 punktów z zadań kwalifikacyjnych (można wysłać i po ocenie poprawić, znowu wysłać i poprawić, można też poprosić o wskazówkę, wyjaśnienie itp.). To naprawdę niewiele, a złoty medal na IMO nie ratuje - potrzebne są trochę inne umiejętności.

Na tydzień przed rozpoczęciem WWW udostępnię krótki skrypt - z pojęciami i przykładami, których znajomość będę zakładał na zajęciach.

Zadania kwalifikacyjne

Znajdują się tutaj, wersja z 9 czerwca 2013.

Zachęcam do wcześniejszego rozwiązywania zadań, abyście w razie problemów mieli czas na zadawanie pytań, prośby o wyjaśnienie oraz nawet na poprawianie rozwiązań.