Krystalografia
Prowadzący: Łukasz Mioduszewski
Opis
Na tych warsztatach przekonacie się, że matematyka przydaje się w życiu, a przynajmniej w wyjaśnianiu budowy kryształów. Atomy w kryształach ułożone są regularnie, tworząc warstwy - a na tych warstwach może zajść dyfrakcja. Dzięki temu możemy się dowiedzieć, jak te atomy są ułożone względem siebie - i właśnie w ten sposób (ale nie tylko w ten) poznaje się strukturę wielu molekuł chemicznych, małych (jak woda) i dużych (jak białka). Aby z obrazu dyfrakcyjnego "odkodować" położenia atomów w cząsteczkach, trzeba wiedzieć jak te cząsteczki mogą być ułożone - okazuje się, że jeśli mają tworzyć kryształ, można je ułożyć na 230 sposobów. Dlaczego akurat tyle? Jak (i dlaczego tak) wygląda ten obraz dyfrakcyjny? Na te i inne pytania postaramy się odpowiedzieć na tych warsztatach!
W praktyce najpierw zobaczymy, jakie symetrie są w krysztale, opiszemy operacje symetrii przy pomocy macierzy i przy pomocy teorii grup dojdziemy do tego, jak te symetrie ograniczają możliwe ułożenie molekuł w krysztale. Potem przejdziemy do dyfrakcji i tego, jak symetrie w krysztale determinują wynik tej dyfrakcji. Warsztaty będą przy tablicy i na kartkach (np. każdy dostanie obrazek podobny do tego poniżej i będzie trzeba wskazać operacje symetrii na obrazku), więc wystarczy mieć ze sobą coś do pisania.
Dlaczego warto?
- Symetrie są ważne
- Dobrze wiedzieć, skąd chemicy biorą te swoje struktury
- Pozbędziesz się tego uczucia
- Dla wrażeń estetycznych
Wymagania
Mnożenie macierzy, znajomość prawa Bragga, przyda się wyobraźnia przestrzenna.
Przydatne informacje
W 3 dni nie uda nam się zgłębić wszystkiego naraz, coś trzeba będzie pominąć. Wysyłając zadania napiszcie, czy wolicie się skupić na części matematycznej (wtedy będzie dużo algebry i teorii grup, może dojdziemy nawet do teorii reprezentacji i Wielkiego Twierdzenia O Ortogonalności) czy fizycznej (wtedy lepiej zrozumiemy, jak taka dyfrakcja w prawdziwym krysztale przebiega, badając krok po kroku drogę jaką przebywa uginany promień, kosztem wiedzy o ogólnych prawach rządzących strukturami periodycznymi). Dla zainteresowanych, warianty "fizyczny" i "matematyczny" warsztatów:
Wersja bardziej "fizyczna"
Dzień 1
- Podstawowe pojęcia (komórka elementarna, sieć periodyczna itd.)
- Rozwiązywanie grup punktowych
Dzień 2
- Rozwiązywanie grup przestrzennych
- Wyprowadzenie warunków dyfrakcyjnych
Dzień 3
- Zastosowanie warunków dyfrakcyjnych w praktyce
- Rozwiązywanie prostych obrazów dyfrakcyjnych
Wersja bardziej "matematyczna"
Dzień 1
- Grupy operacji symetrii
- Elementy sprzężone, klasy równoważności
Dzień 2
- Rozwiązywanie grup punktowych i przestrzennych
- Reprezentacje (nie)przywiedlne
Dzień 3
- Wielkie twierdzenie o ortogonalności
- Warunki dyfrakcyjne (pobieżnie)
Nawet w wersji "matematycznej" będziemy tylko w przestrzeni trójwymiarowej. Jeśli ktoś jest zainteresowany operacjami generowanymi przez odbicia w \(\mathbb{R}^n\), polecam warsztaty o geometrycznej teorii grup. Oba warsztaty mają jedno wspólne zadanie kwalifikacyjne!