Czarne dziury

Co będziemy robić?

Na zajęciach nauczymy się podstaw Ogólnej Teorii Względności na najprostszym, ale bardzo ważnym przykładzie – czasoprzestrzeni Schwarzschilda, która opisuje statyczne czarne dziury. Poznamy ją od totalnej podszewki, czyli wyprowadzenia, przejdziemy przez rozliczne efekty by na końcu opuścić kanon edukacyjny i policzyć/zasymulować coś własnego.

Zajęcia przyjmą charakter ćwikładów, ze zdecydowaną przewagą tych pierwszych. Uczestnicy będą dowodzić wszystkiego i wszystko przeliczać pracując w małych grupkach (z najchętniej redukowalnym do zera interwencjonizmem prowadzącego).

Chciałbym, abyśmy odeszli od obrazkowego myślenia o czarnych dziurach rodem z science – fiction, a skupili się na ich rzeczywistej, matematycznej naturze.

Dla kogo?

Warsztaty skierowane są do fizyków z zacięciem teoretycznym oraz matematyków, którzy mają choć odrobinę fizykalnych motywacji. Jeżeli chcesz wziąć udział w warsztatach z OTW, ale Schwarzschild to dla Ciebie bułka z masłem - koniecznie napisz! Mam kilka dodatkowych pomysłów, które możesz zrealizować w ramach warsztatów.

Wymagania

• Umiejętność różniczkowania
• Umiejętność liczenia prostych całek
• Umiejętność rozwiązywania prostych równań różniczkowych
• Znajomość podstawowych pojęć geometrii różniczkowej (można się nauczyć tego w zadaniach kwalifikacyjnych)
• Znajomość mechaniki Newtona, mile widziana też STW
• Zacięcie teoretyczne

Ostatniego dnia może przydać się znajomość dowolnego języka programowania i komputer LUB równania Maxwella, ale nie są to warunki konieczne.

Planowany program

Dzień pierwszy

 Wyprowadzenie metryki Schwarzschilda. Wychodząc od podstawowego równania relatywistyki (równania Einsteina: \(G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}\)) i założenia o sferycznej symetrii (cokolwiek by to nie znaczyło) opiszemy w zwartej formie jak wygląda czasoprzestrzeń wokół czarnej dziury. W gratisie dostaniemy też twierdzenie mówiące o uniwersalnym charakterze naszego rozwiązania.

Dzień drugi

Przenalizujemy otrzymaną wcześniej metrykę. Zobaczymy co się zmienia, a co nie wzdłuż ruchu (zwłaszcza dla światła). Potem będziemy zrzucać ciężarki na horyzont, by wreszcie bohatersko go przekroczyć to boldly go where no one has gone before.

Dzień trzeci

(Wciąż nie zorientowali się, że jestem matematykiem.)  Tego dnia będzie jeszcze więcej samodzielnej pracy - w zależności od upodobań numerycznej lub analitycznej. Do wyboru będą uogólnienia metryki Schwarzschilda albo robienie symulacji relatywistycznych. (Lub cokolwiek własnego, jeżeli masz lepszy pomysł)

 

Materiały

Nic z poniższych materiałów nie jest obowiązkowe, wszystkie potrzebne informacje będą zawarte w zadaniach kwalifikacyjnych.

Sean Carrol: Lecture Notes on General Relativity

Bardzo dobry skrypt do OTW. Zapoznanie się z rozdziałami poświęconymi geometrii powinno każdemu starczyć w zupełności

Oliver Rinne: Introduction to General Relativity

Podstawowe zależności w bardziej zwięzłej formie, charakter raczej ściągawki.

John Baez: The General Relativity Tutorial

Są magowie, ogólna teoria względności i przesławny John Baez. Co może pójść nie tak?
(PS. Naprawdę są magowie!)

Ja: mój skrypt

Skrypt omawiający zagadnienia wymagane w zadaniach kwalifikacyjnych (wersja robocza, wciąż powstaje)

 

Update

Ponieważ skrypt rozrasta się, a i liczba zadań jest spora wprowadzimy pewne obcięcie. Materiał obowiązujący* kończy się na pochodnej Lie włącznie (która w skrypcie pojawi się lada dzień). Oznacza to, że zadania obowiązujące* kończą się na "Wyznacz w bazie współrzędnościowej..." w rozdziale 3.4. Rozdział 4 wciąż obowiązuje!** Resztę zagadnień omówimy na warsztatach. Jeżeli uważasz, że się już na tym znasz - nie wahaj się zrobić dalszych ćwiczeń i mi ich przesłać. Będzie to dla mnie bardzo cenna informacja na temat poziomu, z którego startujemy.

Naturalnie, zachęcam do jak najszybszego przesyłania rozwiązań. Da mi to czas na sprawdzenie, a Wam na ewentualne poprawki. (Których nie będziecie potrzebować, prawda?)

 

*Obowiązujący nie znaczy, że trzeba zrobić wszystko, choć do tego zachęcam. Próg kwalifikacji zostanie ustalony na podstawie nadesłanych rozwiązań.

** Ale to zadanie akurat obowiązuje każdego i jest WARUNKIEM KONIECZNYM kwalifikacji.