Ciała skończone i kombinatoryka

Opis

Ciało to obiekt algebraiczny, w którym można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić - przykładem ciał są np. liczby wymierne i rzeczywiste, a mniej oczywistym - \(\mathbb{Z}_{p}\) (zbiór liczb {1,…,p} z działaniami modulo p). To ostatnie ciało zawiera skończenie wiele elementów, czyli jest ciałem skończonym.

Ciała skończone i wielomiany nad takimi ciałami pojawiają się w wielu gałęziach matematyki - my przyjrzymy się ich zastosowaniom w kombinatoryce. Po drodze pojawi się trochę pojęć z algebry liniowej. Zobaczymy m.in:

1. Dlaczego popularna gra w Seta (p. obrazek z lewej) to "szukanie prostych w czterowymiarowej przestrzeni nad ciałem trzyelementowym" i jak duży może być zbiór kart nie zawierających seta (w uogólnionym wariancie tej gry, kiedy dopuszczamy więcej cech).

2. Jak efektywnie poprawiać błędy przy przesyłaniu danych (kody poprawiające błędy, kody liniowe, kod Reeda-Solomona), w tym - jaki związek mają wielomiany z popularnymi QR-kodami (p. obrazek z prawej).

3. W jaki sposób ciała skończone i tzw. metoda wielomianowa przydają się w badaniu hipotezy Kakeyi, czyli "jak duży musi być zbiór, aby dało się w nim obrócić igłę". 

Wymagania