Hipoteza Riemanna

Opis

Hipoteza Riemanna jest jednym z najsławniejszych problemów matematyki wyższej. Należy ona także do siedmiu tzw. problemów milenijnych, za których rozwiązanie Instytut Claya oferuje po milionie dolarów za problem. Rzecz jest postawiona następująco: 

"Wszystkie nietrywialne zera funkcji dzeta leżą na prostej \(\mbox{Re}~s = 1/2\)."

Dzeta jest funkcją zmiennej zespolonej, zatem do jej poprawnego zdefiniowania i badania będzie potrzebna znajomość podstaw analizy funkcji zespolonych (więcej w "Wymagania"). Wniknięcie w postać tej funkcji umożliwia odkrycie głębokich powiązań pomiędzy jej własnościami a liczbami pierwszymi. Okazuje się, że istnieje w teorii liczb wiele stwierdzeń równoważnych hipotezie Riemanna jak np. równanie: 

\(\pi (x) = \int_{2}^x \frac{dt}{\log t} + O(\sqrt{x} \log x),\)

które bardzo dokładnie opisuje liczbę liczb pierwszych zawartych w odcinku \([1,x]\) (użyto powyżej notacji "duże O" - jeśli czytelnik widzi ją po raz pierwszy, proszę zerknąć np. o tu: https://pl.wikipedia.org/wiki/Asymptotyczne_tempo_wzrostu ). 

Na warsztatach zajmiemy się przede wszystkim zrozumieniem, czym jest funkcja dzeta, a także zbadaniem związków miedzy hipotezą Riemanna a teorią liczb. Postaram się jednocześnie uzasadnić, dlaczego jest to problem ważny dla matematyki współczesnej. 

Często wnikać będziemy w zagadnienia na tyle zaawansowane, że niezupełnie możliwym będzie przedarcie się przez wszystkie detale techniczne. Główny nacisk będę kładł na idee i wizualizowanie pewnych zagadnień - od czasu do czasu pomachamy rękoma, aczkolwiek będziemy się pilnowali, żeby nam tych rąk nie ucięto. 

Wymagania

Umiarkowanie biegła znajomość rachunku różniczkowego i całkowego oraz absolutnie podstawowe podstawy analizy funkcji zmiennej zespolonej (tylko co do idei; nie trzeba znać dowodów twierdzeń etc. - wystarczy wiedza o tym, czym są całka i pochodna takiej funkcji oraz o tym, o czym mowa będzie w zadaniach kwalifikacyjnych). 

Dodatkowo dobrze byłoby, gdyby uczestnicy zaznajomieni byli z najważniejszymi funkcjami arytmetycznymi używanymi w teorii liczb i ich własnościami takimi jak np. multiplikatywność (lub jej brak), tempo wzrostu, etc. (chodzi o funkcje takie jak np. "liczba dzielników", funkcja fi Eulera, funkcja von Mangoldta, funkcja pi zliczająca liczby pierwsze).

PS. W najbliższym czasie mogą jeszcze pojawić się dodatkowe zadania.