Algebra liniowa płaszczyzny (ALPl)

Prowadzący: Michał Tarnowski

Zadania kwalifikacyjne
Kategorie: matematyka

Opis

Wektorki, za Wikimedia CommonsRozwiązania zadań kwalifikacyjnych proszę wysyłać na adres m.tarnowski95@gmail.com.

Algebra liniowa to jeden z najczęściej nauczanych przedmiotów matematycznych na studiach, nie tylko matematycznych. Mniej-więcej od lat 60. XX w. jest równie powszechny co analiza matematyczna. Niestety ograniczenia czasowe sprawiają, że tego przedmiotu zwykle nie można wykładać spiralnie, tzn. zaczynając od szczególnych przypadków (jak płaszczyzna i przestrzeń trójwymiarowa). Kursy zwykle zaczynają się od pełnej ogólności – czasami tylko Rn (AGH), a czasem już od abstrakcyjnej przestrzeni liniowej (UW, UJ). Poza tym ten przedmiot jest nauczany w obecnej formie dopiero od lat 60. XX w. – kiedy zastąpił geometrię analityczną – przez co dydaktyka jeszcze nie dojrzała i nie dotarła się w pełni, jak to było w przypadku analizy (nauczanej od XVIII–XIX w., w dojrzałej formie od połowy XX w.).

Te dwa powody – pełna ogólność i pewien brak dotarcia – sprawiają, że to często przedmiot niezrozumiały i niepopularny, nawet dla najzdolniejszych uczniów i studentów. Niektórzy zdolni nie czują tego dyskomfortu, ale chyba rzadko potrafią przekazać to uczucie innym. Szczytnych wyjątków jest mało:

  • Thomas Banchoff i John Wermer, którzy w latach 80. napisali oryginalny podręcznik Linear Algebra Through Geometry,
  • profesorowie Uniwersytetu Wrocławskiego (jak Jan Dymara i Jacek Świątkowski), którzy na studiach matematycznych prowadzą bardzo oryginalne i maksymalnie zrozumiałe kursy,
  • Grant Sanderson, autor kanału 3Blue1Brown na YouTube, gdzie opublikował serię filmów The Essence of Linear Algebra,
  • Leonard Susskind, który w książce Teoretyczne minimum. Mechanika kwantowa podaje podstawy algebry liniowej.

Celem tych warsztatów nie jest zastąpienie systematycznego, pełnego kursu algebry liniowej i geometrii analitycznej. Celem jest ich uzupełnienie:

  • uczniowie mogą „rozgrzać się” przed kursem akademickim w inny sposób niż tylko próbując zrozumieć zaawansowane kursy – często mylnie reklamowane jako podstawowe,
  • studenci i absolwenci mogą sobie utrwalić pewną wiedzę i zobaczyć alternatywną metodę dydaktyczną – wstępującą, czyli idącą od szczegółu do ogółu i od przykładów do ogólnych pojęć.

Taki błyskawiczny, 9-godzinny kurs zawężony do R2 ma być „spisem treści” kursu właściwego. Niektórzy lubią czytać spisy treści przed właściwą treścią i uczyć się „iteracyjnie”, zaczynając od mniejszych wyzwań, zarysów i „rusztowań” całej teorii. Kiedyś modne było słowo „propedeutyka”. Jak ktoś chce, to może to nazwać „propedeutyką algebry liniowej” (PAL-em).

Wyznacznik dwuwymiarowy, za Wikimedia CommonsWstępny plan warsztatów

Dzień 1

  1. wektory na płaszczyźnie i działania na nich; współliniowość wektorów;
  2. kombinacja liniowa, otoczka (powłoka) liniowa i rozpinanie; liniowa niezależność; baza;
  3. macierze przedstawiające układy wektorów lub równań liniowych; podstawowe typy macierzy: zerowa, jednostkowa, skalarna, diagonalna, schodkowa, trójkątna – i ich interpretacja geometryczna;
  4. rząd macierzy, układu wektorów i układu równań liniowych;
  5. obliczanie rzędu macierzy przez schodkowanie („eliminacja Gaussa”, redukcja wierszowa lub kolumnowa).

Dzień 2

  1. wyznacznik w pięciu smakach;
  2. forma liniowa; mnożenie wiersza przez kolumnę, działania na formach, przestrzeń dualna (wierszy);
  3. odwzorowania liniowe i ich macierze, działania na odwzorowaniach liniowych i ich macierzach;
  4. podstawowe typy odwzorowań i ich macierzy: odwracalne (bijektywne, nieosobliwe) i nieodwracalne (osobliwe).

Dzień 3

  1. zmiana bazy i jej magiczne własności;
  2. teoria spektralna: wektory i wartości własne, wielomian charakterystyczny, diagonalizacja;
  3. jeśli starczy czasu: postać kanoniczna Jordana. Twierdzenie Jordana na płaszczyźnie jest zadziwiająco proste (dla tych, którzy nie mogli go zrozumieć) i zadziwiająco skomplikowane (dla tych, dla których niskie wymiary są „trywialne”).

Czego prawdopodobnie NIE będzie i dlaczego:

1. Liczb zespolonych. Mają duże znaczenie i naturalnie uzupełniają płaszczyznę, ALE:

  • bardzo dużo da się zrobić bez nich – nawet w teorii spektralnej, która zwykle jest nauczana po nich i z wykorzystaniem ich,
  • nie pomagają istotnie w wyobrażeniu sobie tych tematów, a nawet mogą trochę zaciemnić, bo skłaniają do rozważania większej liczby przypadków,
  • nie brakuje dobrych kursów tego tematu.

2. Równania wektorowego prostej i podstawowych problemów z geometrii analitycznej (jak wzajemne położenie prostych, punktów lub prostej i punktu). To pewne „naturalne uzupełnienie” algebry i geometrii wektorów, ALE:

  • to pewna „ślepa uliczka” – dalsze tematy nie budują na tym,
  • rzadko się z tego korzysta,
  • zwykle jest nauczane dobrze i intuicyjnie.

3. Krzywych drugiego stopnia (stożkowych)

  • brak czasu,
  • temat jest dość intuicyjny i zwykle nauczany dobrze.

4. Innych bajerów, które dałoby się wcisnąć w płaszczyznę euklidesową, jak: procedura Grama–Schmidta (ortonormalizacja), wielomian minimalny, twierdzenie Cayleya–Hamiltona, funkcje analityczne od odwzorowań i macierzy, ogólne formy dwuliniowe, twierdzenie Sylvestera, iloczyn tensorowy wektorów, iloczyn zewnętrzny (Grassmana) – chętni mogą pogadać w kuluarach.

Wymagania

  • Algebra i geometria analityczna na poziomie matury (liceum / technikum),
  • pewne tematy z teorii mnogości i algebry, które nie zawsze pojawiają się w szkole – jak bijekcja, funkcja złożona i odwrotna,
  • otwarty umysł – ale bez przesady, żeby rozum nie wypadł. :-)

Przydatne rzeczy