Teoria kategorii

Opis

Jedząc kolację w gronie matematyków można natknąć się na pytanie o konstrukcje i własności różnych struktur matematycznych, jak iloczyny grup lub sumy proste przestrzeni liniowych. Jedną z najbardziej eleganckich odpowiedzi (a przy okazji, ciekawe dlaczego, wzbudzającą dużą irytację) jest “Teoria kategorii udzieli Ci prostej odpowiedzi” oraz rozpoczęcie rysowania obrazków na serwetkach...

Otóż teoria kategorii pozwala na:

• znalezienie podobieństw między różnymi strukturami matematycznymi i działami matematyki (topologia? grupy? moduły? - nie ma różnicy, wszystkie konstrukcje wyglądają tak samo wyrażone w języku teorii kategorii)

• przenoszenie rezultatów z jednej dziedziny matematyki do zupełnie innej, w której stają się prostsze (ta gałąź matematyki jest piętą Achillesową? Przenieśmy problem do innej, w której jest trywialny!)

• i, tak, dokładnie! - na tworzenie dowodów z wykorzystaniem obrazków specjalnego rodzaju, nazywanych diagramami przemiennymi

Wychodząc od podstawowej teorii mnogości (działań na zbiorach, pojęć iniekcji, surjekcji i bijekcji) chcemy zabrać Uczestnika na spacer po różnych działach matematyki związanych w pojęciową całość teorią kategorii. Chcielibyśmy pokazać kilka ciekawych rezultatów z algebry liniowej i topologii algebraicznej, choć to od Uczestników będzie zależeć jak daleko pójdziemy.

Wymagania

Aby móc uczestniczyć w warsztatach, wymagamy:

• odwagi w poznawaniu nowych pojęć matematycznych

• znajomości podstaw teorii zbiorów - sprawnego posługiwania się zbiorami i funkcjami

• zrobienia zadań kwalifikacyjnych - wprowadzają one nowe, ważne pojęcia, z których będziemy korzystać na warsztatach. W razie problemów, zachęcamy do kontaktu

• serwetek i długopisu - możliwości pisania i rysowania ;)

Wcześniejsze zetknięcie się z pojęciami przestrzeni topologicznej czy różnych struktur algebraicznych (jak grupa czy przestrzeń liniowa) może być pomocne, lecz niewymagane - przez to wszystko przejdziemy na warsztatach wykorzystując potęgę teorii kategorii.
 

Przydatne rzeczy

W repozytorium https://github.com/pawel-czyz/kategorie/ wraz z upływem czasu będą pojawiać się nowe rzeczy - takie jak skrypt, oraz poprawki do zadań (jeśli okażą się potrzebne).

Teorii zbiorów na poziomie potrzebnym do rozwiązania zadań kwalifikacyjnych można nauczyć się na przykład z http://logika.uwb.edu.pl/KT/Elementy%20logiki%20i%20teorii%20mnogosci.pdf

Zadania można wysyłać na: pawelc2010@gmail.com