Wymiar liniowy

Prowadzący: Piotr Oszer

Zadania kwalifikacyjne
Kategorie: matematyka

Do tego będziemy dążyć

Opis

Jednym z podstawowych pojęć geometrii jest wymiar, pojęcie to ma bardzo proste ujęcie w strukturze zwanej przestrzenią liniową, gdzie wszystkie intuicje z życia na temat wymiaru są spełnione (na przykład na płaszczyźnie). Opowiem o tych przestrzeniach i przekształceniach liniowych (i co to jest :P) między nimi. Oczywiście przestrzenie liniowe nie są jednymi obiektami dla których mówimy o wymiarze (np. krzywa, kula, powierzchnia tafli wody) dlatego też wprowadzę odrobinę narzędzi analitycznych aby pokazać jak wymiar z przestrzeni linowych uogólnia się na bardziej wyrafinowane obiekty, które nazywamy rozmaitościami różniczkowymi (zanurzonymi). Gdy już poznamy podstawowe własności rozmaitości, opowiem co to jest rozmaitość topologiczna, co oznacza teza hipotezy Poincarégo, a także o pewnych jej uogólnieniach (tak otwartych jak i rozwiązanych).

Wymagania

Wymagane cechy i umiejętności:

  1. Umiejętność abstrakcyjnego myślenia
  2. Odrobina wyobraźni geometrycznej
  3. Podstawy rachunku różniczkowego - podciąg, granica,ciągłość, pochodna, różniczkowalność, wszystko to na prostej rzeczywistej (to będą sprawdzać zadania kwalifikacyjne)
  4. Wiedza z geometrii analitycznej i algebry na poziomie matury rozszerzonej (cokolwiek to znaczy)
  5. Podstawowe pojęcia z teorii zbiorów i funkcji takie, jak iloczyn kartezjański, dziedzina, obraz, iniekcja, suriekcja, bijekcja
  6. (nie jest wymagane ale pomoże) Wiedza o tym czym są macierze, jak się je mnoży

 

Przydatne rzeczy

Przede wszystkim wszystkie pytania na piotr@oszer.pl

Materiały przydatne do nauki podstaw analizy i rachunku różniczkowego (to jest ogromnie dużo więcej i dużo bardziej szczegółowo niż jest potrzebne):

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna

http://dydmat.mimuw.edu.pl/analiza-matematyczna-i/rachunek-rozniczkowy

W.Krysicki,L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach 1, PWN, 2015

Literatura:

G.W.F Hegel, Fenomenologia ducha, PWN, Warszawa 2010

R.Bott,L.Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag, Berlin 1982

A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. PWN, Warszawa 2002.

Aleksiej I. Kostrikin, Wstęp do algebry. Część 2 – Algebra liniowa , PWN, 2004-2013

A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1977