Dziury, grupy i pewne części słonia

Opis

Podczas pierwszej części warsztatów będziemy od podstaw rozwijali konstrukcje tzn. algebry abstrakcyjnej, czyli całkiem współczesnego podejścia do algebry jako do badania struktur algebraicznych (większego masła maślanego nie ma, no ale cóż...). Głównie skupimy się na teorii grup, z delikatnym wejściem w teorię pierścieni. Trochę się tym pobawimy i przez chwilę się tym ponapawamy, ale jednak znajdzie to prawdziwe zastosowanie w części drugiej. 

Następnie skupimy się na zastosowaniach algebry w geometrii i topologii, przy czym będziemy rozważać raczej bardzo porządne obiekty, gdyż nie chcemy wchodzić głęboko w niuanse topologiczne, bo jest to materiał na roczny, albo i dłuższy, kurs z samej topologii. Powiemy m. in. o wykrywaniu n-wymiarowych dziur w obiektach, a przyjrzenie się osobliwości z obrazka poniżej pomożne nam wywnioskować, że nie tylko da się wcisnąć trójwymiarową sferę w dwuwymiarową, to w dodatku jest coś sferopodobnego!

Link do źródła (polecam zobaczyć)

Wymagania

1. Podstawy teorii zbiorów
2. Intuicje algebraiczne
3. Podstawowe zrozumienie co to jest zbieżność, ciągłość dla bardzo porządnych przestrzeni.
4. Intuicje geometryczne
5. Miłość do wielowymiarowych sfer

Zadania kwalifikacyjne przybliżają istotę punktów 1. i 3.

Przydatne rzeczy

W zasadzie nie znam dobrych materiałów do uczenia się rzeczy potrzebnych do zadań kwalifikacyjnych, gdyż uczyłem się ich z wykładów i różnych innych losowych źródeł (np. preliminaria do książki, która jest zupełnie o czym innym xd). Spróbuję więc zadbać o to, żeby każde słowo z zadań było wcześniej zdefiniowane (poza może rzeczami, które są w uczone w szkołach). Na pewno uporządkowanym źródłem wiedzy z topologii jest skrypt mimu (link), ale nam nie będzie potrzebne więcej niż pierwsze 9 stron (pierwsze 3 podrozdziały) i to w dodatku można skupić się tylko na faktach o przestrzeniach metrycznych, bo i tak nie potrzebujemy większej ogólności. Na pewno pomocna będzie wiedza o granicach zarówno w 1 wymiarze jak i większej ich liczbie. Co do teorii zbiorów, to naprawdę nie znam żadanych źródeł, ale mam nadzieję, że zadania z niej nie będą przysparzały trudności (w ostateczności znowu można spróbować wyciągnąć z internetu jakiś skrypt mimu, ale to już na własną rękę).

Kontakt

W razie pytań, zastrzeżeń lub pomyłek w zadaniach można śmiało pisać maila na: jurczakjakub0@gmail.com