Symetrie bardziej i mniej konkretne

Zadania kwalifikacyjne są tutaj.

Opis

Pierwsze co nam przychodzi do głowy słysząc o symetriach to proste obiekty geometryczne. W matematyce jednak możemy podejść do tego zagadnienia w nieco ciekawszy sposób. Możemy się zastanowić czym w ogóle są symetrie i w jaki sposób na nie spojrzeć by móc zapomnieć o geometrii. Odkryjemy się wtedy, że symetrie pojawiają się w wielu innych miejscach, również takich jak tasowanie kart, działania na liczbach czy grafy.

Czego dowiemy się w trakcie warsztatów?

  • Poznamy teorię grup i wykorzystamy ją by lepiej zrozumieć symetrie znanych nam figur
  • Zobaczymy co mają wspólnego n-wymiarowe trójkąty, tasowanie kart i pewne twierdzenie z 1854 roku
  • Nauczymy się szukać symetrii w grafach
  • Pokażemy że figury to tak naprawdę grafy
  • Poznamy zaskakujące twierdzenie Fruchta
  • Dzięki grafom Cayleya rozwiążemy odwrotny problem: jak dla dowolnych symetrii znaleźć figurę, która je posiada

Forma warsztatów

Warsztaty będą miksturą wykładu oraz wspólnego rozwiązywania problemów i pracy w grupach. Postaram się pokazać, że w algebrze pod przykrywką operacji na "znaczkach, cyferkach i literkach"  kryją się często proste operacje geometryczne. Z racji tego uczestnicy powinni przygotować się do rysowania dużej liczby grafów.

Wymagania

Do rozwiązania zadań kwalifikacyjnych, które się wkrótce ukażą, przyda się znajomość pojęć:

  • suriekcja, injekcja, bijekcja, iloczyn kartezjański
  • permutacja, grupa, podgrupa, produkt grup, homomorfizm grup
  • podstawowy język logiki i kwantyfikatorów (dla każdego, istnieje, ...)

Dodatkowo w trakcie warsztatów będziemy korzystali z podstawowych pojęć z teorii grafów takich jak: graf, graf skierowany, graf regularny, cykl, kolorowanie grafu, drzewo.

Materiały

https://fizyka.umk.pl/~gniewko/didaktiki/MD2013-2014/wyk%C5%82ad8.pdf (slajdy 1 do 9) - przystępnie pokazane podstawowe pojęcia teorii grup

http://home.agh.edu.pl/~horzyk/lectures/pi/ahdydpiwykl9.html (pierwsza połowa) - wprowadzenie do podstawowych pojęć teorii grafów

Kontakt

Zadania kwalifikacyjne oraz jakiekolwiek pytania dotyczące programu warsztatów można wysyłać na adres: marcin.oczk@gmail.com