Teoria miary

Prowadzący: Mieszko Zimny

Zadania kwalifikacyjne są tutaj.

Opis

Punktem wyjścia dla naszym rozważań będzie pojęcie mierzenia. Pojęcie, z którym każdy z nas styka się niemal przez całe życie. Już małe dzieci uczą się w szkołach, jak obliczać pola figur płaskich, a nieco starsze także objętości figur trójwymiarowych. Ale czym to "pole" lub "objętość" właściwie jest? Wydaje się intuicyjne, że każda figura na płaszczyźnie czy bryła w przestrzeni zajmują jakąś określoną ilość miejsca, którą można przyjąć za ich pole czy objętość. Na ile jednak ta intuicja jest słuszna?

Być może niektórzy z was słyszeli wcześniej o paradoksie Banacha-Tarskiego. Mówi on, że zwykłą, trójwymiarową kulę można podzielić na pięć części, z których następnie jedynie za pomocą obrotów i przesunięć można złożyć dwie rozłączne kule takie same, jak wyjściowa. Jest to twierdzenie, w które ciężko uwierzyć, które godzi w nasze podstawowe intuicje opisane powyżej.

 

Plan warsztatów

Na samym początku powiemy sobie czym mnie więcej jest miara (a raczej czym chcielibyśmy, żeby była) i jakich własności od niej oczekujemy. Następnie zobaczymy, jak wszystko się wali i pali, między innymi skonstruujemy paradoksalny rozkład kuli. Potem zajmiemy się tym, jak w matematyce rozwiązuje się wynikłe z tego problemy. Zobaczymy, że pomimo początkowej katastrofy wiele rzeczy jest dokładnie takich, jakbyśmy chcieli. Na koniec, jeżeli zostanie nam czasu, zajmiemy się pojęciem całki względem miary.

 

Wymagania

Dokładnie tyle, ile obejmują zadania kwalifikacyjne. Czyli:

  • znajomość i zrozumienie pojęć granicy ciągu i sumy szeregu (samo zrozumienie będzie o wiele ważniejsze niż umiejętność liczenia konkretnych przykładów);
  • znajomość pojęcia supremum i infimum zbioru:
  • podstawy teorii mnogości (iniekcja, suriekcja, bijekcja, równoliczność, zbiór przeliczalny).

 

Kontakt

Wszelkie pytania, uwagi, wątpliwości, rozterki życiowe etc. proszę śmiało kierować na mieszko1037@gmail.com