Intuicyjne czy nie? - Wokół aksjomatu wyboru

Opis

Trywialne

~Prof. Zaionc

Czy chcemy czy nie chcemy - matematyka to gra w otwarte karty. Jak w żadnej innej nauce zmuszeni jesteśmy do nieustannego pamiętania o wszystkich podjętych przez nas w toku wywodu założeniach. Wśród tych założeń specjalne miejsce i szczególna uwaga należy się aksjomatom - nieocenionym fundamentom naszego wywodu. Złośliwi twierdzą że dowód to nic innego jak ciąg trywializmów wychodzących z przyjętych arbitralnie pewników - i nie można im odmówić odrobiny racji (i więcej niż odrobiny kąśliwości). Inni zaś powiedzą że aksjomaty mają oddawać nasze intuicje co do tego jakie własności powinny spełniać obiekty o konkretnych nazwach, inni zaś jeszcze stwierdzą, że wybieramy takie aksjomaty, ażeby uzyskać jak najwięcej ciekawych i nietrywialnych wniosków. Czy chcemy czy nie - coś przyjąć od początku musimy.

Aksjomatyka Zermela-Fraenkla (ZF) jest krótka, zrozumiała i elegancka, a świetnie ujmuje nasze intuicje (czyżby?) odnośnie tego jakich własności oczekujemy od obiektu zwanego zbiorem. Za pomocą pojęć pierwotnych zbioru oraz relacji należenia otwiera ona przed nami przebogaty pejzaż struktur i nieprzebrane pole do badań. Okazuje się jednak że w standardowej wersji aksjomatyka ta bywa niedostateczna i co rusz napotykamy się na twierdzenia których nie sposób potwierdzić ani obalić korzystając z dostępnego w obrębie ZF arsenału. I tutaj na scenę wkracza aksjomat wyboru!

Wydawać by się mogło że dodajemy do naszej teorii kolejną oczywistość. Co więcej, wydawać by się mogło że taka oczywista oczywistość powinna wynikać z już przyjętych założeń! - Otóż nic bardziej mylnego, nie wynika, ani też nie wynika jego zaprzeczenie! Możemy więc dodać go do naszej wciąż małej (bo skończonej) kolekcji trywializmów. Jeśli jednak to zrobimy, napotykamy na morze wniosków dziwnych, niekiedy podejżanych a nawet sprzecznych ze zdrowym rozsądkiem, naturalnym odruchem obronnym w takiej sytuacji jest zwątpienie w pojęcie "oczywistości", odrzucenie zdrowego rozsądku i dołączenie do niechlubnego grona matematyków którzy na starość zwariowali.

Aksjomat wyboru lubi kryć się za krzakiem i wyskakiwać w najmniej oczekiwanych momentach - z początku podywagujemy sobie na temat tego, jak przypadkiem możemy założyć AoC i nawet tego nie zauważyć, pokażemy kilka przyjemnych w dowodzeniu faktów które dają się dowieść właśnie dzięki założeniu pewnika wyboru. Dyskusje o dużych ilościach krasnoludków jak najbardziej na miejscu.

Spróbujemy również zagłębić się w liczby porządkowe i dobre porządki, nie przestraszymy się indukcji pozaskończonej i wykażemy że aksjomat wyboru można sformuować tak, że jego wypowiedzenie godzi w nasze podstawowe intuicje.

Wymagania

Jako że zajęcia mają formę luźnego wykładu połączonego z rozwiązywaniem problemów w grupach - warto wyposażyć się w ulubione narzędzie piszące (pełna dowolność z poszanowaniem zasad bhp) oraz podłoże po którym pisać się da wybranym narzędziem do pisania. Co zaś do potrzebnych sprawności - zadania kwalifikacyjne sprawdzą:

• Umiejętność dowodzenia prostych faktów matematycznych wychodząc z aksjomatyki teorii ZF
• Ścisłe rozumienie pojęcia relacji, funkcji, podziału zbioru.
• Sprawne operowanie w obrębie rachunku kwantyfikatorów i rachunku zdań
• Zdolność użycia indukcji matematycznej.

Przydatne materiały

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci

Helena Rasiowa - Wstęp do matematyki współczesnej