Geometria czasoprzestrzeni i obserwatorzy w S/OTW

Opis

Spróbujemy podejść do teorii względności od strony geometrycznej. Problem zasadniczy będzie w tym, że geometrii różniczkowej.

Przede wszystkim:

• będziemy starać się nie trzymać jednego układu współrzędnych, a nawet rodziny układów inercjalnych;
• nie będziemy rozwiązywać równań Einsteina i wyprowadzać metryk.

Dzięki temu powinniśmy nie zapomnieć, że czasoprzestrzeń jest złożona z punktów z nałożoną geometrią i nie zależy od układów i transformacji. Aby nie wpaść w pułapkę wynikającą z ograniczenia się do szczególnie płaskiej przestrzeni i nadmiernego upraszczania obliczeń, będziemy równolegle pracować w geometrii Minkowskiego oraz Schwarzschilda.

Będziemy chcieli próbowali zastosować to uogólnione podejście, więc spróbujemy powiedzieć coś o życiu obserwatora poruszającego się prawie dowolnie. Aby nadać rozważaniom jakiś atrakcyjny cel i pobudzić nas do wymyślania pytań, rzucam inspirację:

• Czy da się zrobić grywalną strzelankę z akcją toczącą się wokół czarnej dziury?

Zatem nie ominie nas poruszenie klasycznych efektów: przesunięcia ku czerwieni (dopplerowskiego oraz grawitacyjnego), dylatacji czasu i paradoksu bliźniąt. Rozważymy interakcje, w tym komunikację z innymi graczami, zderzenia i strzelanie. Proszę przesyłać, razem z rozwiązaniami zadań lub nie, wszelkie (głupie lub nie) nasuwające się pytania w temacie strzelanki.

Na początek będzie trzeba omówić sporo pojęć, bo same rozmaitości riemannowskie są bogate matematycznie, a my chcemy się rzucić na teorię wykorzystującą geometrię pseudoriemannowską do definiowania podstawowej fizyki. Jeśli będę za mało machał rękami, to będzie trzeba mi zwrócić uwagę.

Wymagania

Do kwalifikacji przyda się głównie obliczanie pochodnych i przekształcanie algebraiczne.

Na warsztatach potrzebne będzie nam więcej pojęć, niż umiejętności. Do równości typu dy=f(x)dx będziemy dopisywać znaki całki, często bez ich dalszego obliczania. Poza tym będziemy cały czas zmieniać bazy wektorowe, operować przestrzeniami wektorowymi, ale możliwie bez robienia z warsztatów wykładu pierwszorocznej algebry. Może się za to przydać być i dowiedzieć się czegoś na warsztatach pt. Algebra liniowa płaszczyzny (ALPI), które prawie na pewno będą poruszać interesujące tematy i szczególnie budować geometryczne intuicje.

Przydatne rzeczy

Przed rozwiązywaniem zadań trzeba się zapoznać z notacją sumacyjną i powinien wystarczyć do tego artykuł https://pl.wikipedia.org/wiki/Konwencja_sumacyjna_Einsteina

Podczas rozwiązywania zadań być może warto zaglądać na

• https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_vector#Cylindrical_coordinates
• https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system#Integration_and_differentiation_in_spherical_coordinates

oraz wyszukiwać w internetach różne napotkane pojęcia.

Nie zaszkodzi poznać skrypt http://www.fuw.edu.pl/~dragan/Fizyka/Nstw.pdf, nawet jeśli (a może właśnie dlatego, że) w planie jest bardziej abstrakcyjne podejście.

Skoro o klasycznych pozycjach na liście polecanych mowa, to nie powinno zabraknąć Veloci-ty-raptora: http://www.testtubegames.com/velocityraptor.html

Mniej znaną pozycją może za to być http://gamelab.mit.edu/games/a-slower-speed-of-light/