Podstawy topologii metrycznej

Prowadzący: Adam Gonstal


Zadania kwalifikacyjne:
Kategorie:
matematyka

Wstęp: 

Zajawka: (Luźno związane z zajęciami)  
https://www.youtube.com/watch?v=AmgkSdhK4K8 

Jednym z ciekawych działów matematyki jest topologia, my poznamy jej podstawy od najprostszej strony tzn. przez stworzenie abstrakcyjnego pojęcia odległości. Pewnie niektórzy was, kojarzą słowo “topologia” z gumowym odkształceniami. (Kulista krowa, [1] “Donat [2] to kubek (*). ) itd. My nie będzie zajmować się takimi rzeczami w pełni (chociaż wspomnę o nich).   Za to żeby zajmować się “kulistymi krowami” trzeba (warto) poznać tą wiedzę, którą ja przekaże na zajęciach.  

Zaznaczam że warsztaty te w założeniu są skierowane dla ludzi, którzy mieli nie wielką lub zerową styczność z topologią. (patrz: wymagania) 

Kontakt: ag9@onet.eu  Prosiłbym o tytuły/tematy w formacie ,,[WWW15] Temat Imię Nazwisko", pomoże to przy sprawdzaniu prac. 

Jak ktoś ma pytania co do warsztatów lub zadań kwalifikacyjnych, można pisać do mnie śmiało, tak samo z pytaniami natury ogólnej. 

Czym będziemy się zajmować? 


 Najprościej jak potrafię:  


Będziemy badać pewne abstrakcyjne własności zbiorów, przy pewnych odwzorowaniach na które mówi się “ciągłe”.  

 
Ważne jest to natomiast, że fizyków i informatyków zrobimy podstawy pod zupełnie nowe narzędzie matematyczne (przy czy nie użyjemy go w praktyce, niestety życie nie jest aż proste). A dla matematyków otworzy się nowy świąt badań matematycznych itd.  
Po drodze poznamy naprawdę ciekawych i rozwijanych abstrakcyjne myślenie zagadnień, które powodują “mindblowa”.  
 
Meta-Celem tych warsztatów jest wyrobienie pewnego warsztatu
(no pun intended) matematycznego, czyli pewnej swobody w abstrakcji pojęć. 


A więc to co fajnego zrobimy? 


1.Co Manhattan i Rzym ma wspólnego z mierzeniem odległości w matematyce? 


2. Czy może istnieć “kwadratowa” kula? 


3. Co tak naprawdę znaczą słowa “otwarty”, “domknięty” przedział?  

3.1 Czy przedział [-3,5) jest domknięty czy może otwarty, jeżeli tak to, dlaczego? (odpowiedz nawet dla licealisty jest oczywista, ale nie do końca precyzyjna...) 


3.2.Czy przedział [-niesk., +niesk.] jest otwarty lub domknięty?


3.3 A zbiór pusty?  


4. Przejedziemy się po nieskończenie wymiarowej przestrzeni-zbadamy jakieś zbiory w niej. 


5 Opowiem parę sucharów.  

 

Wymagania:


-Pojęcie zbioru-jako pojęcie pierwotne. Dopełnienie zbioru.   


-Kwantyfikatory mocny i słaby. Znajomość i umiejętność sprawnego się posługiwania nimi. 


-Pojęcie faunkcji- definicja. 


-Ciągłość funkcji- definicja.   


-Ciągi- definicja (jako funkcja!) 


-Granica ciągu-definicja 


-Granica funkcji-definicja

 
-Dowód Nie wprost. 


-Myślenie Abstrakcyjne 

 

Warto znać: (Nie wymagam ich znajomości, jak już to będę tłumaczył tę pojęcia na miejscu)  


-Obraz/Przeciw obraz funkcji. 


-Przestrzeń. 


-Słowa “Iniekcja/Suriekcja” mogą się pojawić. (To pierwsze to szkolna funkcja różnowartościowa.)


-Pełna matematyczna definicja odwzorowania ciągłego. 


-Podstawowa znajomość teorii mnogości i jej aksjomatyki. (Aksjomatyka ZFC) 


Wymagam głownie zrozumienia, stąd może ciut dziwne zadania kwalifikacyjne.  

 
Materiały edukacyjne przed warsztatami:  


(Mogą okazać się przydatne do robienia zadań kwalifikacyjnych/ i mają na celu też przygotowanie do samych warsztatów)


-Dowolny podręcznik od analizy, preferowane z dopiskiem, że jest “dla fizyków” 


Sugerowany:  


-Andrzej Sołtysiak “Analiza matematyczna Część I” (jest to mój ulubiony podręcznik od analizy) 


Na początek:  

 

http://rasokolowski.strony.wi.ps.pl/glowna_pliki/matdyskr2.pdf  slajdy 2-3,5,7-8, 10 

Resztę można przejrzeć jako dodatek.

http://www.fuw.edu.pl/~konieczn/faq_analiza_2016.html Wykład 3 z semestru 1 (ANALIZA I R- na dole). Wykład 1-2 można przeczytać, ale to jako bardziej dodatek.  
 Nie przejmuj się jak czegoś nie rozumiesz, jest duże prawdobowieństwo że ja też tego nie rozumiem : P.  

Widziałem też parę fajnych artykułów w “delcie” 4/2019 na tematy które będziemy poruszać. 

Materiały edukacyjne po warsztatach

(W żadnym stopniu nie wymagam ich znajomości, głownie ich celem jest pogłębienie wiedzy po warsztatach):  
Główny skrypt: 

Wykłady 4-8  (ANALIZA I R- na dole)

Też dowolny podręcznik od analizy... (NIE POLECAM MAURINA/RUDINA na pierwszy start)  
Jak ktoś czuje potrzebę zagłębienia się w topologię jeszcze “bardziej” to dobrym startem jest Klaus Jänich "Topologia". 

-Istnieje nie zerowa szansa, że wrzucę po zajęciach swój skrypt/notatki ze zajęć.
(*) W matematyce Torus. 

 

[1] https://www.google.com/search?q=topology+gif&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjsrMquweTgAhUww4sKHWGNDc8Q_AUIDigB&biw=1920&bih=937#imgrc=vbQY3mB_QfOF5M: 

[2] https://www.google.com/search?q=topology+gif&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjsrMquweTgAhUww4sKHWGNDc8Q_AUIDigB&biw=1920&bih=937#imgrc=mTqpTu11wXUddM: