Analiza alternatywna - liczby p-adyczne

Opis

Na liczby rzeczywiste można patrzeć jak na odpowiednie uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Mówiąc bardzo szkicowo, liczba rzeczywista to granica ciągu liczb wymiernych, które są coraz bliżej siebie. Można myśleć np. o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby rzeczywistej przybliżanej przez coraz dłuższe rozwinięcia skończone. W tym opisie pojawia się słowo "bliżej". Mamy standardowy sposób liczenia odległości liczb wymiernych: odległość od x do y jest równa po prostu |x - y|. Nie jest to jednak jedyny sposób liczenia odległości. Inną możliwością jest wybór liczby pierwszej p, skonstruowanie tzw. normy p-adycznej i uzupełnienie względem niej zbioru liczb wymiernych, otrzymując tzw. liczby p-adyczne, mające wiele zastosowań w teorii liczb.

Na początku warsztatów przyjrzymy się dokładnie zarysowanej powyżej konstrukcji uzupełniania. Skonsruujemy ciało liczb p-adycznych i postaramy się zrozumieć, jakie ma ono własności i jak "wygląda" (tak długo, aż obrazek poniżej zacznie mieć dla nas sens). Następnie zaprezentuję niektóre z licznych zastosowań liczb p-adycznych w teorii liczb. Które dokładnie - to będzie częściowo zależało od preferencji uczestników.

Wymagania

Warto wiedzieć, co to są przestrzenie metryczne i funkcje ciągłe między nimi.

Przydatne materiały

Dwie bardzo dobre książki omawiające temat liczb p-adycznych to:
J.-P. Serre, A Course in Arithmetic
N.Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions
Są to jednak książki akademickie i mimo, że niektóre elementarne rezultaty są w nich dowodzone, to jednak zakładają ogólne obycie czytelnika z algebrą liniową, algebrą abstrakcyjną i analizą rzeczywistą.

Kontakt

Bardzo zachęcam, aby w razie jakichkolwiek pytań, wątpliwości itp. pisać na m.zimny@students.mimuw.edu.pl