O czym nie można mówić, o tym trzeba milczeć

Opis

Idea formalizacji matematyki i sprowadzenia całego jej opisu do napisów formalnych, do budowy których używa się niewielkiej liczby znaków była pociągająca dla niektórych matematyków z początku XX w. Rzeczywistość okazuje się jednak trochę bardziej skomplikowana.

Najczęściej używanym systemem do tworzenia formuł logicznych jest tzw. logika pierwszego rzędu. Wynika to z jednej strony z jej prostoty, z drugiej z faktu spełniania istotnych własności, tzw. zwartości i pełności (więcej o tym na warsztatach). Okazuje się jednak, że ma ona istotne ograniczenia. W idealnym świecie chcielibyśmy, żeby wszystkie własności jakiejś struktury, które są wyrażalne w logice pierwszego rzędu wyznaczały już tę strukturę jednoznacznie. Jak się okazuje tak prawie nigdy nie jest. 

Na początku warsztatów podyskutujemy trochę o tym, co to w ogóle jest logika, potem szybko przeanalizujemy klasyczny rachunek zdań jako prosty przykład, aby następnie przejść do interesującej nas logiki pierwszego rzędu. Przyjrzymy się dokładnie różnicy między (semantyczną) prawdziwością, a dowodliwością, zobaczymy ograniczenia logiki pierwszego rzędu. W szczególności okaże się, że pewnych dość naturalnych własności struktur nie da się w niej wyrazić oraz, że każda teoria w niej stworzona ma bardzo dużo istotnie różnych modeli.

Wymagania

Zrozumienie głównych idei i wyników, które zostaną przedstawione w zasadzie nie wymaga żadnego wstępnego przygotowania, może poza jakimś minimalnym obyciem ze spójnikami logicznymi i kwantyfikatorami. Natomiast sprawne posługiwanie się napisami formalnymi oraz znajomość podstaw teorii mnogości (co sprawdzają zadania kwalifikacyjne) gwarantuje zrozumienie wszystkich szczegółów.

Przydatne materiały

http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_mnogosci/2018/12/28/Hotel_Hilberta/
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_mnogosci/2019/04/29/Jak_policzyc_nieskonczone/
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_mnogosci/2019/05/26/Nie_kazda_jest_taka_sama_/
Powyższe trzy artykuły to delikatne wprowadzenie do teorii mnogości dla osób, które nie miały z nią wcześniej żadnej styczności. Jednocześnie zawierają niemal wszystko, co jest potrzebne do zrobienia zadań kwalifikacyjnych.
https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci
Wykład 9. tego skryptu to już bardziej techniczne wprowadzenie do tematu. Zawiera sporo więcej niż jest nam potrzebne.
https://www.mimuw.edu.pl/~lak/logika2014-15wyklad
Jeżeli ktoś przeczyta ze zrozumieniem pierwsze 30 stron tego skryptu, to już chyba nie ma sensu, żeby przychodził na warsztaty.

Kontakt

Bardzo zachęcam, żeby z wszelkimi pytaniami, wątpliwościami, itp. pisać na m.zimny@students.mimuw.edu.pl