Analityczna Teoria Liczb

Opis

Analityczna teoria liczb jest dziedziną matematyki zajmującą się zastosowaniem metod analitycznych do osiągania rezultatów dotyczących liczb naturalnych. Samo istnienie takiego powiązania jest mocno nieoczywiste. Analiza bada przecież głównie struktury "ciągłe", np. funkcje zdefiniowane na zbiorze liczb rzeczywistych lub zespolonych. Okazuje się jednak, że w ten sposób udało się osiągnąć imponujące rezultaty dotyczące liczb pierwszych.

Ładny obrazek z funkcją zeta

Głównym celem warsztatów będzie udowodnienie trudnego twierdzenia Dirichleta. Mówi ono co następuje.

Jeżeli a i b są względnie pierwszymi dodatnimi liczbami całkowitymi, to istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci an+b.

Będzie to dla nas pretekstem do przyjrzenia się podstawowym metodom analitycznej teorii liczb, głównie funkcjom arytmetycznym i teorii charakterów. Jeżeli zostanie nam czasu, to postaram się opowiedzieć co nieco o hipotezie Riemanna (co właściwie mówi, jakie są jej uogólnienia i dlaczego jest tak ważna).

Wymagania

1. Elementy analizy matematycznej (szeregi ogólnie, szereg Taylora, dobrze będzie nie uciekać z krzykiem na widok całki)
2. Liczby zespolone (wiedza co to jest i że istnieje n różnych pierwiastków n-tego stopnia z 1)

Przydatne materiały

1. https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1 - kompendium podstaw analizy matematycznej, dla nas najważniejsze są rodziały 6. (szeregi), 10. (wzór Taylora), przyda się też 11. (równość asymptotyczna)
2. https://www.youtube.com/playlist?list=PL8yHsr3EFj53L8sMbzIhhXSAOpuZ1Fov8 - Richard Borcherds (laureat medalu Fieldsa w 1998) ma na swoim kanale bardzo dobre wykłady wprowadzające do teorii liczb, wrzucam link dla zainteresowanych 
3. m.zimny@students.mimuw.edu.pl - mój mail, zapraszam do pisania z wszelkimi problemami z zadaniami, materiałami, rozterkami życiowymi etc.