Probabilistyczne ZOO

Uwaga

Z racji mojego zaangażowania w Komisję Zadaniową Olimpiady Matematycznej Juniorów na warsztaty nie mogą ani zapisywać się, ani uczestniczyć osoby, które w przyszłym roku będą jeszcze uczniami szkoły podstawowej. Przepraszam :(

Opis

Do ZOO chodzi się podziwiać różne zwierzęta. Te warsztaty to będzie takie ZOO, tylko że zamiast zwierząt będziemy podziwiać różne fenomeny ze świata prawdopodobieństwa i statystyki. Niekoniecznie będą one ze sobą ściśle związane, ale będą intrygujące. Niektóre będą bardzo teoretyczne, inne zaś nieco bliższe praktyce. Przedstawie poniżej dwa z nich, zadanie kwalifikacyjne jest trzecim ciekawym zagadnieniem.

Skoki narciarskie

Sir Francis Galton

Czy jeśli oboje z rodziców są wysocy, to dziecko będzie również wysokie? To pytanie zadał sobie Sir Francis Galton, żyjący w drugiej połowie XIX i na początku wieku angielski badacz. Zebrał spore ilości danych empirycznych. I okazało się, że istotnie dzieci bardzo wysokich rodziców są wysokie, ale są statystycznie bliższe średniemu wzrostowi. Analogicznie dzieci z niską matką i ojcem są niższe od statystycznego człowieka, ale bliżej im do średniej niż ich rodzicom.

Wspomniane zjawisko nosi nazwę regresji do średniej. Bardzo ciekawym przykładem tego zjawiska są skoki narciarskie. Statystycznie skoczek, który zajmował miejsce pierwsze po pierwszej serii, ukończy zawody średnio pomiędzy miejscem trzecim a czwartym. Zawodnik dziesiąty koło jedenastego, a dwudziesty statystycznie będzie dziewiętnasty po drugiej serii. Widać, że jest pewna korelacja – wyniki w pierwszej serii są podobne do wyników w serii drugiej. Ale jak bardzo? Czy można oszacować, w jakim stopniu to szczęście ma wpływ na wynik, a w jakim rzeczywiste umiejętności? O tym będziemy myśleć na warsztatach.

Prawie na pewno

W szkole uczy się, że jeśli prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia wynosi 0, to jest ono niemożliwe, a jeśli wynosi 1 to jest pewne. Ale pomyślmy o prostym przykładzie. Losujemy dowolną liczbę rzeczywistą od 0 do 1. Jaka jest szansa, że wylosujemy 0.3? Chciało by się powiedzieć, że prawdopodobieństwo jest "nieskończenie małe". Ale współcześni probabiliści tak nie myślą.

Na warsztatach zastanowimy się głębiej nad aksjomatami współczesnej teorii prawdopodobieństwa i pokażemy bardzo ciekawe wyniki jak np. Lemat Borela-Cantellego.

Wymagania

1. Umiejętności matematyczne na poziomie powyżej podstawowego, ale nie trzeba być olimpijczykiem.
2. Programowanie (preferowany Python).
3. Warto mieć komputer, ale nie jest to obowiązkowe.