Twierdzenie Gödla i teoria modeli

Opis

Matematycy poszukując nowych obiektów do badań rozochocili się tak bardzo, że aż same matematyczne teorie stały się tematem ich zainteresowań. Okazuje się bowiem że formalizując pojęcia takie jak teoria, dowód czy zdanie można dowiedzieć się wiele o istniejących strukturach matematycznych, a nawet tworzyć nowe o egzotycznych własnościach.

Najsłynniejszym wynikiem w tym duchu pozostaje do dziś chyba twierdzenie Goedla które pokazuje, gdzie znajdują się granice możliwości formalnych systemów wnioskowania.

W trakcie tych warsztatów przyjrzymy się aksjomatycznej teorii liczb naturalnych, udowodnimy twierdzenie Goedla oraz omówimy popularne błędne interpretacje i delikatności w jego wypowiedzi. Następnie spojrzymy szerzej wprowadzając podstawowe pojęcia teorii modeli, spróbujemy złapać różnicę i podobieństwa między podejściem syntaktycznym i semantycznym. Na koniec dzięki wyprowadzeniu pewnych elementarnych faktów takich jak tw. o zwartości popuścimy wodze fantazji i skonstruujemy egzotyczne obiekty takie jak liczby nieskończenie małe czy niestandardowe liczby naturalne.

Forma zajęć

Zajęcia będą miały formę wykładu tablicowego z miejscem na krótkie ćwiczenia oraz wolną dyskusję.

Wymagania

Do uczestnictwa w warsztatach wymagana będzie elementarna znajomość logiki a w szczególności tworzenia i operowania na zdaniach logicznych. Zadania kwalifikacyjne sprawdzą m.in. umiejętność dowodzenia prostych tautologii rachunku kwantyfikatorów oraz konstruowania formalnych dowodów.

Przydatne rzeczy

https://web.archive.org/web/20231024080802/https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci - pierwsze trzy moduły zawierają definicje przydatne w rozwiązywaniu zadań kwalifikacyjnych, wersja z webarchive bo na aktualnej wysypał się LaTeX.

Kontakt

Zachęcam do kontaktu zarówno w temacie zadań kwalifikacyjnych jak i treści zajęć. Kontaktować się można przez discorda (Janczar Knurek) jak i przez maila janczar.kurek@student.uj.edu.pl