Geometria na kracie.

W szkole algebra (czyli badanie wielomianów i rozwiązywanie równań) oraz geometria (czyli badanie figur i przestrzeni) często wydają się dwoma zupełnie osobnymi światami. A gdyby tak połączyć je w jedno?

Na tych warsztatach zanurzymy się w fascynujący świat matematyki wyższej, w którym zaawansowana algebra staje się przyjazną, namacalną i dyskretną kombinatoryką. Będziemy zajmować się tzw. geometrią toryczną. Zobaczymy, jak z pozoru proste zbiory punktów o współrzędnych całkowitych (czyli tytułowa krata) oraz rozpięte na nich stożki pozwalają w precyzyjny sposób budować i badać skomplikowane obiekty geometryczne, zwane rozmaitościami. Aby to zrozumieć, nie będziemy tonąć w abstrakcyjnych wzorach – zamiast tego będziemy wspólnie rysować wielościany, analizować grafy i badać własności macierzy, odkrywając przy tym zadziwiające matematyczne prawidłowości.

Krok po kroku zobaczymy, jak język algebry pozwala badać "kształty" w zupełnie nowy, zaskakujący sposób (poznając m.in. topologię Zariskiego), a następnie całkowicie przetłumaczymy to na język geometrii. Zobaczysz, czym jest matematyczny torus i co to znaczy, że "działa" on na jakiejś przestrzeni.  Zrozumiemy, jak prosta sieć punktów łączy algebrę, geometrię i kombinatorykę w jedną spójną strukturę.

Jeśli chcesz zobaczyć, jak matematyka łączy różne dziedziny w elegancką całość, odkryć potęgę geometrii i przećwiczyć nowe idee w praktyce, te warsztaty są dla Ciebie!

Wymagania Wymagane cechy i umiejętności:

• Ciekawość i otwartość na nowe, abstrakcyjne idee matematyczne.

• Chęć zrozumienia, w jaki sposób można połączyć algebrę z geometrią i przećwiczenia tego na konkretnych zadaniach.

• Podstawowa znajomość działań na macierzach i wielomianach.

• Wyobraźnia przestrzenna oraz elementarna intuicja dotycząca wektorów i układu współrzędnych na płaszczyźnie.

Dodatkowe materiały dla zainteresowanych

• David A. Cox, John Little, Donal O'Shea, "Ideals, Varieties, and Algorithms".

• David A. Cox, "Toric Varieties".

Ważna uwaga: Powyższa literatura to bardzo specjalistyczne książki, z których sam korzystam, przygotowując dla Was te warsztaty. Jeżeli ktoś byłby zainteresowany, to oczywiście może je przejrzeć, jednak jest to całkowicie dobrowolne - ani rozwiązanie zadań kwalifikacyjnych, ani pełne uczestnictwo w warsztatach absolutnie nie wymagają zapoznania się z nimi.

Jeśli jednak będziesz chciał się czegoś ciekawego dowiedzieć przed warsztatami, to znacznie lepszym i bardziej przystępnym pomysłem będzie przeczytanie pozycji związanych ze wstępem do algebry liniowej oraz algebry abstrakcyjnej. Świetnie sprawdzi się tu klasyczny podręcznik A. I. Kostrikina „Wstęp do algebry”. W części 2. („Algebra liniowa”) znajdziesz solidne i czytelne wprowadzenie do macierzy i wyznaczników. Z kolei jeśli chcesz dowiedzieć się, czym są pierścienie i ideały, gorąco polecam część 1. tego samego autora („Podstawy algebry”) – temat ten jest tam wyłożony dość łagodnie i z wieloma przykładami. Alternatywą do abstrakcji może być też zbiór Jerzego Rutkowskiego „Algebra abstrakcyjna w zadaniach”, który pozwala uczyć się tych pojęć od razu przez praktykę, oraz darmowe skrypty uniwersyteckie (jak np. podlinkowany w zadaniach skrypt dra Męcla, który świetnie buduje intuicję geometryczną dla wektorów i macierzy).

Jednak jeszcze raz podkreślam, że jest to dla osób szczególnie zainteresowanych tematem i nie jest to wymagane dla uczestnictwa w warsztatach. Solidne przerobienie zadań kwalifikacyjnych jest w zupełności wystarczające.

Kontakt W razie jakichkolwiek wątpliwości, uwag, pytań pisz na adres podany w zadaniach kwalifikacyjnych.