Geometria rzutowa i konstrukcje geometryczne

Krótka (prawie) notka z historii matematyki

Na przełomie XV i XVI wieku włoski matematyk Scipione del Ferro odkrył wzory pozwalające rozwiązywać równania wielomianowe trzeciego stopnia w zależności od ich współczynników. Były to czasy, w których matematycy zdobywali sławę, wyzywając innych matematyków na pojedynki. Polegały one na tym, że każda ze stron musiała w określonym czasie, na przykład w ciągu kilku tygodni, rozwiązać jak najwięcej zadań przygotowanych przez przeciwnika.

Z tego powodu własne wyniki publikowano niechętnie. Tak też było z odkryciem del Ferra, którego nigdy nie ogłosił drukiem. Dopiero na łożu śmierci przekazał swoją wiedzę uczniowi, Antoniowi Marii Fiorowi.

Fior zrobił później karierę, wyzywając innych matematyków na pojedynki, których głównym tematem były właśnie równania trzeciego stopnia. W historii zapisał się jednak raczej jako matematyk niezbyt wybitny. Jednym z jego przeciwników był Niccolò Tartaglia, uzdolniony samouk pochodzący z bardzo ubogiej rodziny.

Podczas pojedynku, który odbył się w 1535 roku, Tartaglia opracował własną metodę rozwiązywania równań trzeciego stopnia. Było to osiągnięcie spektakularne: problem ten należał do centralnych zagadnień ówczesnej matematyki. Dzięki swojej metodzie Tartaglia rozwiązał wszystkie zadania postawione przez Fiora, które dotyczyły wyłącznie tego typu równań. Fior natomiast nie poradził sobie ze zróżnicowaną listą problemów przygotowanych przez Tartaglię i pojedynek przegrał.

Tartaglia również nie opublikował swojego wyniku. Został jednak przekonany przez bogatego i bardzo wpływowego Gerolama Cardano, którego nazwiskiem sygnuje się dziś wzory na rozwiązania równań trzeciego i czwartego stopnia, do wyjawienia mu swojego rozumowania. Cardano obiecał przy tym, że nikomu go nie przekaże.

Jakiś czas później Cardano dowiedział się, że analogicznym wynikiem dysponował już wcześniej del Ferro. Uznał więc, że umowa z Tartaglią przestała go obowiązywać, i opublikował metodę. Co więcej, razem ze swoim uczniem Lodovikiem Ferrarim, wywnioskował z niej wzory na rozwiązania równań 4-tego stopnia. Nawiasem mówiąc, metoda Tartaglii per se zakładała pewną nierówność między współczynnikami wielomianu, która zapewniała nieujemność liczb, z których wyciągane były pierwiastki. Cardano zauważył, że posługując się nieformalnym pojęciem liczby zespolonej można i to założenie pominąć (w czasach, w których matematycy patrzyli jeszcze niepewnie na liczby ujemne!). 

Wydarzenia te wyniosły Cardano do pozycji jednej z czołowych postaci ówczesnej matematyki. Tartaglia, czując się głęboko skrzywdzony, wyzwał go na pojedynek. Cardano nie przyjął jednak propozycji. Tartaglia otrzymał za to możliwość zmierzenia się ze wspomnianym wyżej uczniem Cardano, Ferrarim. Pojedynek ten przegrał, przez co ostatecznie utracił swoją pozycję. Do końca życia pracował już jako szkolny nauczyciel matematyki za głodową pensję (a w każdym razie niewysoką, z tego co piszą).

Konstrukcje geometryczne 

Jeden z problemów, który na wspominanym pojedynku w roku 1548 przedstawił Ferrariemu Tartaglia, brzmiał następująco:

Dany jest kąt ABC, przy czym AB < BC. Odłożyć długość AB na boku BC (od punktu B) mając do dyspozycji linijkę (bez podziałki) oraz cyrkiel o stałej rozwartości.

Problem ten jest trywialny, jeśli dysponujemy cyrklem w pełni, oraz, o czym można się przekonać rozwiązując zadania kwalifikacyjne, niemożliwy do rozwiązania za pomocą samej linijki. Ferrari problem ten rozwiązał, natomiast dzisiaj, dzięki odkryciu Jakoba Steinera (człowieka znanego nawet ze szkolnych lekcji fizyki), wiemy znacznie więcej. Steiner w roku 1833 (więc zdecydowanie później) udowodnił następujące twierdzenie:

Dany jest okrąg na płaszczyźnie, oraz zbiór punktów zawierający środek tego okręgu. Dowolny punkt konstruowalny z tego zbioru za pomocą cyrkla i linijki jest również konstruowalny za pomocą samej linijki i tego okręgu.

W dowodzie tym Steiner korzystał z prostych faktów dotyczących geometrii rzutowej, czyli działu geometrii zajmującego się własnościami niezmienniczymi względem przekształceń rzutowych. 

Co będzie na warsztatach 

Na warsztatch nauczymy się podstaw geometrii rzutowej. Przeanalizujemy czym są przekształcenia rzutowe i dowiemy się jakie są ich niezmienniki.

W geometrii rzutowej wygodnie jest pracować w modelu geometrii rozszerzonym o punkty w nieskończoności, w którym dowolne dwie proste mają punkt wspólny (ideowo dla prostych równoległych punkt ten jest w nieskończoności). Taki model nazywa się płaszczyzną rzutową. Twierdzenia płaszyczny rzutowej przenoszą się na twierdzenia płaszczyzny euklidesowej poprzez po prostu obcięcie (o ile ma to sens). Na warsztatach wskażemy też konkretną, praktyczną konstrukcję płaszczyzny rzutowej.

Zobaczymy piękny, abstrakcyjny dowód twierdzenia Desargues'a, które - notabene - jest przykładem twierdzenia niezależnego od aksjomatyki Euklidesa (i prawdziwego na płaszczyźnie euklidesowej w znaczeniu R^2 z długościami i kątami pochodzacymi od iloczynu skalarnego). Opowiemy o twierdzeniach dualnych. Będziemy tu korzystać z własności płaszczyzny rzutowej.

Poznamy związki geometrii rzutowej z konstrukcjami za pomocą samej linijki. W zależności od czasu i zainteresowania, być może opowiemy też o słynnych wynikach dotyczących niekonstruowalności klasycznych zagadnień typu trysekcja kąta (to już nie ma związku z geometrią rzutową).

Na sam koniec udowodnimy twierdzenie Steinera, być może w formie zadań do samodzielnego rozwiązania.

Wymagania

Głównie zaangażowanie. Tematyka nie zakłada żadnych wymagań wstępnych, jeśli chodzi o wiedzę matematyczną. Na pewno będzie fajnie, jeśli zna się trochę na geometrii (bo ja np się nie znam). Można też znać trochę algebry liniowej (jeśli jest w narodzie zapotrzebowanie na taką wiedzę, to może to być dobry temat na kolejne warsztaty).

Przydatne rzeczy

?????????????????????? przecież to wykład z matematyki

Kontakt

Można słać mejle na igor.hanczaruk@gmail.com

Bibliografia

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tartaglia/
Marek Kordos Wykłady z Historii Matematyki

W miarę mojego przygotowywania się na te warsztaty, być może pojawi się tu jakiś poważniejszy tekst na temat geometrii rzutowej (wybrałem ten temat bo uważam że jest ciekawy i dobrze nadaje się na warsztaty, a nie dlatego że się na nim znam)