Podstawy teorii homotopii

Opis

Teoria homotopii to bardzo ważne narzędzie topologii algebraicznej, zajmujące się odróżnianiem od siebie przestrzeni topologicznych takich jak okrąg, sfera, torus albo butelka Kleina, przypisując im tak zwany typ homotopii. 

Ważnym niezmiennikiem typów homotopii jest grupa podstawowa. Jeśli przestrzenie mają ten sam typ homotopii, to ich grupy podstawowe są izomorficzne. Możemy sobie wyobrażać, że grupa podstawowa działa tak, jak nawlekanie nitki na różne obiekty i zawiązanie jej końców. Jeśli zawiniemy nitkę wokół piłki, możemy ją zdjąć bez ruszania końców. Ale jeżeli będziemy nawijać nitkę na obwarzanek możemy nie być w stanie jej zdjąć bez rozwiązywania.

Program

• homotopia, homotopijna równoważność, typ homotopii, jednospójność,
• grupa podstawowa - działanie grupowe, poprawność definicji,
• grupa podstawowa produktu przestrzeni topologicznych,
• tw. Seiferta - van Kampena, suma spójna,
• nakrycia, nakrycie uniwersalne,
• Hipoteza Poincarego, 
• wyższe grupy homotopii,
• jakie grupy są grupami homotopii pewnych przestrzeni topologicznych?

Wymagania

• podstawy teorii grup - grupa, przykłady grup, grupy wolne, produkt grup,
• podstawy topologii - zbiór otwarty, funkcja ciągła, topologia produktowa, rozmaitość, spójność, drogowa spójność.

Wszystkie potrzebne zagadnienia pojawią się w zadaniach kwalifikacyjnych.

Literatura

Na razie Allen Hatcher, Algebraic Topology, ale znajdę coś po polsku.