Metoda okręgu ("The circle method")
Prowadzący: Piotr Achinger
Opis
Nieudowodniona do dziś Hipoteza Goldbacha mówi, że każda parzysta liczba naturalna >2 jest sumą dwu liczb pierwszych. Ponieważ 3 jest liczbą pierwszą, z Hipotezy Goldbacha wynika w szczególności, że każda liczba nieparzysta >5 jest sumą trzech liczb pierwszych. To ostatnie stwierdzenie, nazywane słabą Hipotezą Goldbacha, zostało udowodnione przez peruwiańskiego matematyka Haralda Helfgotta dopiero w 2013 roku. Historia tego dowodu zaczyna się ok. 80 lat wcześniej. W 1937 roku I. M. Winogradow udowodnił, że słaba Hipoteza Goldbacha zachodzi dla odpowiednio dużych liczb nieparzystych (konkretniej: każda liczba nieparzysta >3^3^15 jest sumą trzech liczb pierwszych). W szczególności, do udowodnienia słabej Hipotezy Goldbacha pozostało sprawdzić na komputerze wszystkie liczby nieparzyste <=3^3^15. Niestety, ta liczba jest zbyt duża żeby komputerowe sprawdzanie miało jakikolwiek sens. Dowód Helfgotta polegał na udoskonaleniu metody Winogradowa na tyle, żeby zmniejszyć to dolne ograniczenie do 10^27, poziomu osiągalnego przez współczesne komputery.
Na warsztatach omówimy technikę na której opierają się powyższe wyniki, tzw. "metodę okręgu" ("Hardy--Littlewood circle method"). Warsztaty będą prawdopodobnie oparte o posty z bloga Tao. Celem będzie zrozumienie z grubsza jak działa dowód Winogradowa. "Rdzeń" warsztatów będzie oparty o notatki Terry'ego Tao.
Warsztaty te będą w jakimś stopniu ogólnym wprowadzeniem do analitycznej teorii liczb. Najprawdopodobniej nie uda nam się szczegółowo omówić dowodu twierdzenia Winogradowa, naszym celem będzie raczej zrozumienie technik użytych w dowodzie.
Wymagania
Od uczestników będę wymagał znajomości elementarnej teorii liczb (na poziomie małego twierdzenia Fermata). Przydatna będzie umiejętność całkowania.
Przydatne rzeczy