Topologia algebraiczna

Prowadzący: Paweł Czyż

Zadania kwalifikacyjne
Kategorie: matematyka

Opis

Topologowie mają dość... niecodzienne poglądy – wszystkie wielokąty są dla nich takie same (okrąg) i zdarza im się pomylić obwarzanek z porannym kubkiem kawy (iloczyn okręgu i dysku). Można wręcz przewrotnie zapytać – czy w topologii są w ogóle różne obiekty? Okazuje się, że już odróżnienie piłki (sfery) od dętki (torusa), czy zwykłej płaszczyzny od przestrzeni trójwymiarowej jest dość trudnym zadaniem...

Na pomoc przyjdzie nam (w uproszczonym wydaniu) teoria homologii, która zajmuje się liczeniem dziur w przestrzeni przy pomocy prostej algebry liniowej – operacji na wektorach i macierzach.

Powiązane warsztaty

  • Tegoroczne warsztaty Podstawy teorii homotopii Michaliny Horeckiej również dotyczą topologii algebraicznej i warto się na nie wybrać. Teoria homotopii i teoria homologii to piękne działy, powiązane twierdzeniem Hurewicza.

  • Dwa lata temu wraz z Fredericiem Grabowskim poprowadziliśmy warsztaty na temat Teorii kategorii. Teoria kategorii ma wiele związków z topologią algebraiczną i jest językiem współczesnej matematyki.

  • Cztery lata temu Kasia Budzik poprowadziła warsztaty z Klasyfikacji powierzchni, które w szczególności pokazywały dlaczego torus i sfera nie są homeomorficzne.

 

Aktualizacja: Do udziału w tym bloku warsztatowym zapraszam też osoby, które nie nadesłały rozwiązań w trakcie kwalifikacji, a są zainteresowane topologią algebraiczną – proszę zrobić zadania i skontaktować się ze mną przed warsztatami. Uczestnicy, którzy nadesłali rozwiązania w terminie, pokazali, że w pełni rozumieją zagadnienia wstępne – nieuczciwe byłoby zanudzanie ich nimi raz jeszcze. Dlatego od samego początku będziemy zajmować się ciekawszymi rzeczami, bazującymi na zadaniach wstępnych.

Plan warsztatów

Zaktualizowany 21.06.2020

Przejdziemy przez następujące tematy:

  • język teorii kategorii i funktorów,
  • jak można odróżniać "standardowe" przestrzenie topologiczne (sfery i przestrzenie Euklidesowe różnych wymiarów, torus),
  • twierdzenie Brouwera o punkcie stałym,
  • algebra homologiczna (kompleks łańcuchowy przestrzeni wektorowych i jego homologia, lemat o wężu, lemat o zygzaku),
  • konstrukcja homologii singularnej, ciąg Mayera-Vietorisa,
  • stopień odwzorowania, twierdzenie o włochatej sferze, być może też twierdzenie Borsuka–Ulama i twierdzenie o równym podziale kanapki.

Będziemy przyjmować różne uproszczenia, od czasu do czasu machać rękami i raczej liczyć przykłady niż dowodzić abstrakcyjne twierdzenia. Mam nadzieję, że to rozbudzi ciekawość i zachęci do tematu. (A wyrobione intuicje przydadzą się później, już na uniwersyteckich kursach topologii algebraicznej).

Wymagania

Ze strony topologicznej będziemy nieformalnie posługiwać się pojęciem przestrzeni topologicznej. Warto mieć wyrobione pewne intuicje, jak ciągłość, spójność czy zwartość. W szczególności dobrze jest wiedzieć dlaczego okrąg to nie prosta.

Ze strony algebraicznej trzeba znać podstawy algebry liniowej – działania na wektorach i macierzach. Najtrudniejszymi pojęciami z jakich będziemy korzystać są jądro i obraz przekształcenia liniowego oraz przestrzeń ilorazowa.

Kwalifikacja

Tak, są zadania kwalifikacyjne. Tak, jest to głównie elementarna algebra liniowa. (W liceum niestety rzadko się jej uczy, może więc trzeba będzie o niej doczytać – bez algebry liniowej nie da się zajmować matematyką).

Polecam zajrzeć do:

Aktualizacja: Pojawiły się rozwiązania.

Kontakt

W razie pytań, próśb o polecenie książek do przeczytania czy chęci wysłania zadań kwalifikacyjnych, zachęcam do kontaktu na adres pawel.czyz w domenie st-hughs.ox.ac.uk. Wpisanie w temacie hasła, które przykuje moją uwagę pozwoli odróżnić mi Wasze maile od nieważnych wiadomości – ustalmy, że temat będzie zaczynał się od ZOOPSYCHOLOGIA.