Jak całki liczyć, żeby się nie przeliczyć?

Opis

„Weź wrzuć tę całkę w kalkulator, a historia się skończy, dostaniesz przybliżony wynik i uwierzysz w to, że tyle faktycznie wychodzi. Weź kartkę papieru i zacznij ją rozpisywać, a zostaniesz w krainie matematyki i zobaczysz, z czego to tak naprawdę wynika.”
— Pewien matematyk zajmujący się macierzami, jeszcze przed wymyśleniem Wolframa

Całkowanie pojawia się praktycznie w każdej dziedzinie nauk ścisłych i technicznych – jest wygodnym narzędziem do opisu i modelowania wielu rzeczywistych zjawisk. W przeciwieństwie do operacji różniczkowania, nie każda funkcja posiada funkcję pierwotną dającą się zapisać tylko przy użyciu funkcji elementarnych. Czy zatem jesteśmy z góry skazani na porażkę przy próbie liczenia skomplikowanie wyglądających całek, kiedy znane nam metody nie działają?

Niekoniecznie. Okazuje się, że w wielu dość zaskakujących przypadkach jesteśmy w stanie podać jawny wzór na wynik całki oznaczonej (liczbę), nawet jeśli nie istnieje elementarna funkcja pierwotna dla całki nieoznaczonej. Omijamy w ten sposób podstawowe twierdzenie analizy i konieczność znajomości funkcji pierwotnej, jednak nie jest znana uniwersalna metoda, która zagwarantowałaby znalezienie zwartego wzoru liczbowego w każdym przypadku.

Liczenie całek oznaczonych jest zatem pewnego rodzaju sztuką, ponieważ każdy przykład stawia przed rozwiązującym nowe wyzwania. Nie wiadomo z góry, czy będzie on „tylko” bardziej skomplikowaną wersją innych znanych całek, czy być może będzie wymagał użycia kilku sprytnych trików, podstawień i przekształceń albo jakiejś bardziej zaawansowanej teorii czy twierdzenia. Nic więc dziwnego, że na całym świecie są organizowane zawody w całkowaniu na czas. Najbardziej znanym jest Integration Bee na MIT, który to wszystko zapoczątkował, choć od kilku lat także w Polsce organizowany jest Wielki Turniej Całkowania na Uniwersytecie Warszawskim.

Jeśli jesteś ciekawy/ciekawa, skąd to tak naprawdę wszystko się bierze i chcesz wiedzieć między innymi, jakim cudem pole pod wykresem funkcji z obrazka powyżej łączy ze sobą dwie najważniejsze stałe matematyczne, to te warsztaty prawdopodobnie są dla Ciebie!

Plan warsztatów

Celem tych warsztatów jest wprowadzenie do tematyki rozwiązywania różnego rodzaju całek, które nie dają się prosto rozwiązać „szkolnymi” metodami. Nie ograniczymy się tylko i wyłącznie do przykładów skonstruowanych na potrzeby wspomnianych wcześniej turniejów, a spróbujemy także rozwiązać wiele praktycznych problemów, które mają swoje źródło np. w fizyce, prawdopodobieństwie czy teorii sygnałów.

Luźny plan warsztatów obejmuje:

• powtórzenie podstawowych metod rozwiązywania całek nieoznaczonych i wprowadzenie kilku usprawnień
• zaawansowane metody rozwiązywania całek nieoznaczonych
• wykorzystanie parzystości i nieparzystości funkcji dla naszej korzyści
• specjalne podstawienia: odbicia i inwersje
• całkowanie funkcji odwrotnych
• ulubiona sztuczka Feynmana
• transformata Laplace’a – jak całkami niszczyć całki
• rozwijanie funkcji podcałkowej w szereg
• wybrane funkcje specjalne i ich własności
• zamiana całki pojedynczej w wielokrotną
• ciekawe całki „z nazwiskiem”
• wykorzystanie jednostki urojonej do uproszczenia obliczeń
• twierdzenie o residuach, czyli strzelanie z armaty do całki
• i parę innych trików

Jeżeli starczy nam czasu, to może uda się zorganizować jakiś mini turniej całkowania podsumowujący warsztaty :)

Wymagania

Wymagane cechy i umiejętności:

1. Niepanikowanie na widok symbolu całki
2. Ciekawość matematyki
3. Umiejętność liczenia granic
4. Umiejętność liczenia pochodnych (suma, iloczyn, iloraz, złożenie)
5. Znajomość podstawowych metod całkowania
6. Znajomość podstaw rachunku liczb zespolonych

Przydatne rzeczy

• Rachunek różniczkowy przedstawiony w intuicyjny sposób: https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr
• Obliczanie całek: https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/IntegralsIntro.aspx oraz https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/IntTechIntro.aspx
• Szeregi Taylora: https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/TaylorSeries.aspx
• Liczby zespolone: https://tutorial.math.lamar.edu/Extras/ComplexPrimer/ComplexNumbers.aspx

Kontakt

W razie jakichkolwiek pytań, uwag lub wątpliwości dotyczących zadań kwalifikacyjnych i nie tylko zapraszam do kontaktu: jakubhalfar@student.agh.edu.pl