Topologia algebraiczna

Prowadzący: Paweł Czyż

Zadania kwalifikacyjne są tutaj.

Opis

Topologowie mają dość... niecodzienne poglądy – wszystkie wielokąty są dla nich takie same (okrąg) i zdarza im się pomylić obwarzanek z porannym kubkiem kawy (iloczyn okręgu i dysku). Można wręcz przewrotnie zapytać – czy w topologii są w ogóle różne obiekty? Okazuje się, że już odróżnienie piłki (sfery) od dętki (torusa), czy zwykłej płaszczyzny od przestrzeni trójwymiarowej jest dość trudnym zadaniem...

Na pomoc przyjdzie nam (w uproszczonym wydaniu) teoria homologii, która zajmuje się liczeniem dziur w przestrzeni przy pomocy prostej algebry liniowej – operacji na wektorach i macierzach.

Plan warsztatów

Będziemy dyskutować o następujących tematach:

  • homeomorfizm, a homotopijna równoważność przestrzeni,
  • algebra homologiczna (kompleks łańcuchowy przestrzeni wektorowych i jego homologia, lemat o zygzaku),
  • homologia singularna (i zredukowana), ciąg Mayera-Vietorisa,
  • jak odróżniać "standardowe" przestrzenie topologiczne (sfery i przestrzenie Euklidesowe różnych wymiarów, torus),
  • klasyczne twierdzenia topologii algebraicznej – twiedzenie Brouwera o punkcie stałym, twierdzenie Borsuka-Ulama, twierdzenie o włochatej sferze i, jakże użyteczne, twierdzenie o równym podziale kanapki,
  • ... a jeśli czas pozwoli, to przejdziemy do ambitniejszych tematów! Być może rozmaitości i dwoistość Poincaré, CW-kompleksy czy teoria kohomologii singularnej lub de Rhama.

Jako, że topologia algebraiczna jest ogromną dziedziną, to będziemy przyjmować dużo uproszczeń, od czasu do czasu machać rękami i raczej liczyć przykłady niż dowodzić abstrakcyjne twierdzenia. Mam nadzieję, że to rozbudzi ciekawość i zachęci do tematu. (A wyrobione intuicje przydadzą się później, już na uniwersyteckich kursach topologii algebraicznej).

Wymagania

Ze strony topologicznej będziemy nieformalnie posługiwać się pojęciem przestrzeni topologicznej. Warto mieć wyrobione pewne intuicje, jak ciągłość, spójność czy zwartość. W szczególności dobrze jest wiedzieć dlaczego okrąg to nie prosta.

Ze strony algebraicznej trzeba znać podstawy algebry liniowej – działania na wektorach i macierzach. Najtrudniejszymi pojęciami z jakich będziemy korzystać są jądro i obraz przekształcenia liniowego oraz przestrzeń ilorazowa.

 

Kwalifikacja

Tak, są zadania kwalifikacyjne. Tak, jest to głównie elementarna algebra liniowa. (W liceum niestety rzadko się jej uczy, może więc trzeba będzie o niej doczytać – bez algebry liniowej nie da się zajmować matematyką).

Polecam zajrzeć do:

Aktualizacja: Pojawiły się rozwiązania.

Kontakt

W razie pytań, próśb o polecenie książek do przeczytania czy nagłej chęci wysłania zadań kwalifikacyjnych, zachęcam do kontaktu na adres pawel.czyz w domenie st-hughs.ox.ac.uk. Wpisanie w temacie hasła, które przykuje moją uwagę pozwoli odróżnić mi Wasze maile od nieważnych wiadomości – ustalmy, że temat będzie zaczynał się od ZOOPSYCHOLOGIA.